Page 299 - Demo

11. NJEHSIMI INTEGRAL29711.5 Integrimi i thyesave racionaleA Kërkoni dhe zbuloniNjehsoni integralet: a) ∫ 32x + 5 dx; b) ∫ 3(2x + 5)4 dx.B Vrojtoni dhe mësoniThyesa P(x)Q(x) quhet thyesë racionale po qe se P(x) dhe Q(x) janë polinome. Thyesa racionale quhet e rregullt po qe se fuqia e polinomit në emërues është më e madhe se fuqia e polinomit në numërues. Një thyesë racionale jo e rregullt, mbas pjesëtimit të numëruesit me emëruesin e saj, shprehet si shumë e një polinomi me një thyesë të rregullt. Rrjedhimisht, gjetja e integralit të pacaktuar të një thyese racionale, kthehet në problemin e gjetjes së integralit të pacaktuar të një thyese të rregullt.Integrale të trajtës ∫ Aax + b dxShkruajmë: ∫ Aax + b dx = Aa ∫ 1ax + b d (ax + b) = Aaln| ax + b| + c.Integrale të trajtës ∫ A(ax + b)n dx (ku n – numër natyror më i madh se 1) Shkruajmë ∫ A(ax + b)n dx = Aa ∫ 1(ax + b)n d (ax + b) = Aa · 1(1 – n)(ax + b)n – 1 + c.Integrale të trajtës ∫ A(cx + d)n (ax + b) dx, ku n – numër natyror Thyesa nën shenjën e integralit shkruhet si shumë e (n + 1) thyesave me numërues konstant dhe me emërues njëra (ax + b), kurse të tjerat (cx + d), (cx + d)2,..., (cx + d)n.Shembulli 1Kemi p.sh. zbërthimin 9(1 – x)2 · (x + 2) = A(1 – x)2 + B1 – x + Cx + 2, ku A, B, C janë konstante, hëpërhë tëpapërcaktuara. Ky quhet zbërthim sipas koeficienteve të papërcaktuara.Për gjetjen e A, B, C kthejmë në emërues të përbashkët në anën e djathtë dhe pastaj barazojmë numëruesit e thyesave në të dyja anët. Marrim: 9 = A(x + 2) + B(1 – x)(x + 2) + C(1 – x)2, d.m.th.: 9 = Ax + 2A + Bx – 2Bx – Bx2 + 2B + C – 2Cx + Cx2, pra:9 = (C – B)x2 + (A – B – 2C)x + (2A + 2B + C) (1)Barazimi (1) është një barazim identik (për x të ndryshëm nga 1 dhe nga –2) dy polinomesh. Kjo ndodh vetëm atëherë kur koeficientet pranë fuqive të njëjta të x (në të dyja anët) janë të barabarta. Marrim kështu këto barazime:Pranë x2: C – B = 0Pranë x: A – B – 2C = 0Pranë x0: 2A + 2B + C = 9.Duke zgjidhur sistemin C–B = 0A – B – 2C = 02A + 2B + C = 9 gjejmë A = 3; B = 1; C = 1.Kemi zbërthimin 9(1 – x)2 (x + 2) = 3(1 – x)2 + 11 – x + 1x + 2. Prandaj: