Page 301 - Demo

11. NJEHSIMI INTEGRAL29911.6 Integrimi i thyesave racionale (vazhdim)A Kërkoni dhe zbuloniNjehsoni integralet:a) ∫ xx2 + 1 dx; b) ∫ 2x + 1x2 + x + 1 dx.B Vrojtoni dhe mësoniI. Integrale të trajtës ∫ P'(x)P(x) dx, ku P(x) është polinom.Me zëvendësimin u = P(x), këto integrale marrin trajtën∫u' · dxu= ∫duu= ln|u| + c = ln|P(x)| + c.Shembulli 1Të njehsohet integrali ∫ 2x + 3x2 + 3x + 10 dx.Zgjidhje Vëmë re se (2x + 3) është derivati i (x2 + 3x + 10). Shënojmë x2 + 3x + 10 = u dhe marrim∫u' · dxu= ∫duu= ln|u| + c = ln|x2 + 3x + 10| + cII. Integrale të trajtës ∫ mx + nax2 + bx + cdx.a) Rasti kur trinomi ax2 + bx + c e ka dallorin D > 0.Në këtë rast, ky trinom ka dy rrënjë reale të ndryshme dhe zbërthehet si prodhim dy faktorësh të gradës së parë: ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2).Shembulli 2Të njehsohet integrali ∫ 2x + 1x2 + 3x – 4 dx.ZgjidhjeDallori i trinomit është 25 > 0. Duke zgjidhur ekuacionin x2 + 3x – 4 = 0, gjejmë dy rrënjët reale të trinomit 1 dhe –4. Prandaj, x2 + 3x – 4 = (x – 1)(x + 4). Përdorim metodën e koeficienteve të pacaktuara, duke e zbërthyer thyesën 2x + 1x2 + 3x – 4 kështu:2x + 1(x – 1)(x + 4) = Ax – 1 + Bx + 4 . Kthejmë në emërues të përbashkët në anën e djathtë dhe barazojmë numëruesitnë të dyja anët. Marrim 2x + 1 = A(x + 4) + B(x – 1). Duke barazuar koeficientet pranë fuqive të njëjta të x në të dyja anët, marrim 2 = A + B dhe 1 = 4A – B. Gjejmë A = 35 dhe B = 75 .Prandaj ∫ 2x + 1(x – 1)(x + 4) dx = 35 ∫ dxx – 1 + 75 ∫ dxx + 4 = 35 ln |x – 1| + 75 ln |x + 4| + c.b) Rasti kur trinomi e ka dallorin D < 0.Duke vepruar me koeficientet, e shkruajmë numëruesin e thyesës mx + nax2 + bx + c në trajtën(2ax + b) + p dhe pastaj e shkruajmë integralin si shumë dy integralesh:∫ mx + nax2 + bx + cdx = ∫ ax + bax2 + bx + cdx + ∫ pax2 + bx + cdx