Page 302 - Demo

300MATEMATIKA 12USHTRIMEIntegrali i parë është i formës së njohur ∫ P'(x)P(x) dx dhe njehsohet me zëvendësimin u = ax2 + bx + c. Tek integrali i dytë, në emërues veçojmë katrorin e binomit, duke bërë shndërrimet:ax2 + bx + c = a (x2 + bax + ca ) = a[x2 + bax + ca + ( b2a)2 – ( b2a)2] = a[(x + b2a)2 + 4ac – b24a2 ]Kemi ∫ pax2 + bx + cdx = ∫ pa[(x + b2a)2 + 4ac – b24a2 ]dx = pa∫ dx(x + b2a)2 + 4ac – b24a2Shënojmë u = x + b2a dhe 4ac – b24a2 = r2 (kjo shprehje është pozitive, sepse D = b2 – 4ac < 0).Kështu, ∫ pax2 + bx + cdx merr trajtën e njohur pa ∫ duu2 + r2 = pa · r · arctg ur + c.Shembulli 3Të njehsohet integrali ∫ x + 3x2 + 2x + 5 dx.ZgjidhjeShkruajmë: ∫ x + 3x2 + 2x + 5 dx = 12 ∫ 2x + 6x2 + 2x + 5 · dx = 12 · ∫ (2x + 2) + 4x2 + 2x + 5 dx = 12 ∫ 2x + 2x2 + 2x + 5 dx + 12 ∫ 4x2 + 2x + 5 dx =12 ∫d(x2 + 2x + 5)x2 + 2x + 5 + 12 ∫ 4x2 + 2x + 5 dx = 12 ln|x2 + 2x + 5| + 12 ∫ 4x2 + 2x + 5 dx.Tani, tek integrali 12 ∫ 4x2 + 2x + 5 dx = 2 ∫ dxx2 + 2x + 5 bëjmë këto shndërrime:∫ dxx2 + 2x + 5 = 2 ∫ d(x + 1)(x + 1)2 + 22 = 2 · 12 arctg x + 12 + c.Përfundimisht kemi: ∫ 3 + xx2 + 2x + 5 dx = 12 ln|x2 + 2x + 5| + arctg x + 12 + c.C Ushtrohuni duke zbatuarNjehsoni integralet:a) ∫ (2x + 5) dxx2 + 5x + 5 ; b) ∫ (3x – 2) dxx2 – 2x – 3 ; c) ∫ (x + 10) dxx2 + 4x + 10 .1 Të njehsohen integralet:a) ∫ (4x + 7) dx2x2 + 7x + 5 ; b) ∫ (6x + 1) dx3x2 + x + 2 ; c) ∫(–2x + 3) dx–x2 + 3x + 9 .2 Të gjenden integralet:a) ∫ (x + 3) dx2x2 – x – 1 ; b) ∫(4x + 10) dx3x2 + x – 2 ; c) ∫ (5x + 2) dx–x2 + 4x – 3 .3 Të njehsohen integralet:a) ∫ (x + 3) dxx2 + 4x + 7 ; b) ∫ (–x + 1) dx3x2 + x + 2 ; c) ∫(–2x + 1) dxx2 + 6x + 10 .4 Gjeni integralin e pacaktuar ∫–2x3 + 3x2(x – 1)2 dx.Udhëzim: Të shkruhet f(x) me anën e një thyese të rregullt, pra të shkruhet në formën f(x) = ax + b + c(x – 1)2.