Page 303 - Demo

11. NJEHSIMI INTEGRAL30111.7 Ushtrime1 Të njehsohet integrali ∫ (x3 + 2x2 + x + 1)dxx2 + x – 2 .ZgjidhjeThyesa është e parregullt (grada e numëruesit është më e madhe se grada e emëruesit), prandaj pjesëtojmë numëruesin me emëruesin. Gjejmë herësin (x + 1) dhe mbetjen (2x + 3). Shkruajmë:(1) (x3 + 2x2 + x + 1)dxx2 + x – 2 = x + 1 + 2x + 3x2 + x – 2 . Trinomi x2 + x – 2 ka dy rrënjë reale: 1 dhe –2. Prandaj shkruhet si prodhim (x – 1)(x + 2).Sipas metodës së koeficienteve të pacaktuara, shkruajmë: 2x + 3(x – 1)(x + 2) = Ax – 1 + Bx + 2. Pasi kthejmë në emërues të përbashkët, duke barazuar numëruesit, marrim 2x + 3 = A(x + 2) + B(x – 1). Duke barazuar koeficientet pranë fuqivetë njëjta të x në të dyja anët, gjejmë A = 53 dhe B = 13 . Kështu, kemi 2x + 3(x – 1)(x + 2) = 53(x – 1) + 13(x + 2). Duke përdorur barazimin (1), shkruajmë:∫x3 + 2x2 + x + 1x2 + x – 2 dx = ∫(x + 1) dx + ∫ 2x + 3x2 + x – 2 dx. D.m.th:∫x3 + 2x2 + x + 1x2 + x – 2 dx = ∫(x + 1) dx + ∫ [ 53(x – 1) + 13(x + 2)] dx = (x + 1)22 + 53 ln |x – 1| + 13 ln |x + 2| + c2 Njehsoni integralet:a) ∫(x2 – 4x + 2)dxx2 – 6x + 8 ; b) ∫(2x2 + 16x + 23)dxx2 + 7x + 8 ; c) ∫(x3 + x2 + 3x + 1)dxx2 + x + 1 .3 Të njehsohen integralet me metodën e integrimit me pjesë:a) lnxx 3 2 ; b) ∫x · sin (3x –1) dx; c) ∫(x2 + 1) · e–3x dx.4 Të gjendet ∫cos3 x dx.ZgjidhjeShkruajmë. ∫cos3 dx = ∫cos2 x · cos x dx = ∫cos2 x · d(sin x) = ∫(1 – sin2 x) · d(sinx). Duke shënuar u = sinx, marrim ∫cos3 x dx = ∫(1 – u2)du = u – u33 + c = sinx – sin3 x3 + c.5 Të njehsohet ∫sin2 x dx.ZgjidhjePërdorim formulën trigonometrike sin2 x = 1 – cos 2x2 . Kemi:∫sin2 x dx = ∫ 1 – cos 2x2 dx = ∫ 12 dx – ∫ 12 · cos2xdx = 12 x – 14 ∫ cos2xd(2x) = 12 x – 14 ∫cosu du == 12 x – 14 sinu + c = 12 x – 14 sin2x + c.6 Të njehsohen integralet me metodën e zëvendësimit:a) ∫sin5 x dx; b) ∫cos2 x dx; c) ∫sin4 x dx.7 Duke përdorur metodën e zëvendësimit, gjeni integralet:a) ∫ 11 – x 3 dx; b) ∫ 2(3 + 5x) 4 3 dx; c) ∫ x x2 + 2 dx.8 Gjeni integralin e pacaktuar ∫ x2 – 2x(x – 1)2 dx. Udhëzim: Të shkruhet funksioni nën shenjën e integralit në formën a + b(x – 1)2 .9 Njehsoni integralin e pacaktuar ∫ 3x2 ( x – 1x )2dx.