Page 304 - Demo

302MATEMATIKA 1211.8 Syprina e trapezit vijëpërkulur. Përkufizimi i integralit të caktuarA Kërkoni dhe zbuloniNjehsoni syprinën e figurës që kufizohet nga boshti Ox, grafiku i funksionit y = 2x – 4 dhe drejtëzat x = 3 dhe x = 5.B Vrojtoni dhe mësoniËshtë dhënë funksioni f: y = f(x) i vazhdueshëm dhe jonegativ në segmentin [a, b].Figura që kufizohet nga grafiku i këtij funksioni, boshti Ox dhe drejtëzat x = a; x = b quhet trapez vijëpërkulur (fig. 11.1).A mund ta gjejmë syprinën e kësaj figure?Dimë se të matësh syprinën e një figure, do të thotë ta krahasosh atë me njësinë e syprinës. Por njësia e syprinës është syprina e një katrori, kurse trapezi ynë është vijëpërkulur. Prandaj, krahasimi ndërmjet tyre mund të bëhet vetëm përafërsisht, d.m.th. mund të flitet vetëm për syprinë të përafërt të trapezit vijëpërkulur.E ndajmë segmentin [a, b] në n pjesë të barabarta me anë të pikave x0 = a, x1, x2, …, xn = b.Kemi xi = a + b – an , ku i = 0, 1, 2, …, n. Në secilin nga segmentet e ndarjes, zgjedhim në mënyrë të çfarëdoshme nga një pikë c1, c2, …, cn. Vlerat përkatëse të funksionit f në pikat e zgjedhura, do të jenë përkatësisht f(c1), f(c2), …, f(cn). Ndërtojmë drejtkëndëshat me baza segmentet e ndarjes dhe me lartësi përkatësisht f(c1), f(c2), …, f(cn) (fig. 11.2). Në figurën 11.3 është paraqitur njëri nga këta drejtkëndësha. Ai i përafrohet disi trapezit vijëpërkulur KLPQ, prandaj është e arsyeshme të konsiderojmë që edhe syprina e tij, që është f(ci) ·(xi – xi–1), të përafrohet me syprinën e trapezit vijëpërkulur KLPQ. Ndryshimi ndërmjet tyre do të jetë aq më i vogël, sa më e vogël të jetë gjatësia e segmentit të ndarjes [xi–1, xi]. Sa më i vogël të jetë ky segment (d.m.th. sa më i madh të jetë numri n), aq më afër njëra-tjetrës janë vlerat e funksionit f në pikat e tij, meqenëse ky është funksion i vazhdueshëm.AODCBb = xn a = x0 xi–1 ci xi xyOK LQNPMxi–1 ci xi xy Fig. 11.2 Fig. 11.3Marrim tani shumën e syprinave të të gjithë drejtkëndëshave:Sn = f(c1) · (x1 – x0) + f(c2) · (x2 – x1) + … + f(cn) · (xn – xn – 1), që shënohet ndryshe: Sn = nΣi = 1 f(ci) · (xi – xi – 1)AODCBa b xyFig. 11.1