Page 305 - Demo

11. NJEHSIMI INTEGRAL303Është e qartë që kjo shumë varet nga mënyra se si janë zgjedhur pikat ci, por ajo mund të konsiderohet si vlerë e përafërt për syprinën e trapezit vijëpërkulur fillestar, aq më e mirë sa sa më të vogla të merren gjatësitë e segmenteve të ndarjes, d.m.th. sa më i madh të jetë numri n. Prandaj del i natyrshëm ky përkufizim:Përkufizim: Syprinë të trapezit vijëpërkulur ABCD do të quajmë limitin e shumës Sn, kur n →∞, nëse ky limit ekziston dhe nuk varet nga mënyra e zgjedhjes së pikave ci në segmentet e ndarjes.Shembulli 1Të gjendet syprina e trapezit vijëpërkulur që kufizohet nga grafiku i funksionit y = x2, boshti Ox, drejtëzat x = 0; x = a(a > 0) (fig. 11.4).Zgjidhje Ndajmë segmentin [0, a] në n pjesë të barabarta dhe zgjedhim si pika ci skajet e djathta të pjesëve të ndarjes. Kemi atëherë ci = i · andhe f(ci) = ci2 = i2 · ( an )2.Prandaj, Sn = nΣi = 1 [ an · i2 · ( an )2] = nΣi = 1 ( an )3 · i2 = a3n3 (12 + 22 + 32 ... + n2) = a3n3 · n · (n + 1)(2n + 1)6 .Prandaj, lim n →∞ Sn = lim n →∞a36 · n (n + 1)(2n + 1)n3 = a36 · 2 = 13 a3. Kjo është syprina e trapezit vijëpërkulur të shqyrtuar.Përkufizimi i integralit të caktuarËshtë dhënë funksioni f: y = f(x) i vazhdueshëm në segmentin [a, b].E ndajmë segmentin [a, b] në n pjesë të barabarta me anë të pikave x0 = a, x1, x2, …, xn = b.Kemi xi = a + b – an · i, ku i = 0, 1, 2, …, n. Në secilin nga segmentet e ndarjes, zgjedhim në mënyrë çfarëdo nga një pikë c1, c2, …, cn. Vlerat përkatëse të funksionit f në pikat e zgjedhura do të jenë përkatësisht f(c1), f(c2), …, f(cn).Marrim tani shumën Sn = f(c1) · (x1 – x0) + f(c2) · (x2 – x1) + … + f(cn) · (xn – xn – 1), që shënohet ndryshe: Sn = nΣi = 1 f(ci).(xi – xi – 1)Është e qartë që kjo shumë varet nga mënyra se si janë zgjedhur pikat ci.Përkufizim: Integral të caktuar me kufij nga a në b të funksionit f do të quajmë limitin e shumës Sn kur n →∞, nëse ky limit ekziston dhe nuk varet nga mënyra e zgjedhjes së pikave ci në segmentet e ndarjes. Ai shënohet ∫abf(x) dx dhe lexohet: “Integrali i caktuar nga a në b i f(x)dx”.O a xyFig. 11.4