Page 308 - Demo

306MATEMATIKA 12Vërtetim Meqenëse për të gjithë x∈ [a, b] është dhënë f(x) ≥ g(x), atëherë f(x) – g(x) ≥ 0 për të gjithë x∈ [a, b]. Nga vetia 3 kemi atëherë ∫ab[f(x) – g (x)] dx ≥ 0. D.m.th. ∫abf(x) dx – ∫abg(x) dx ≥ 0, pra ∫abf(x) dx ≥ ∫abg (x) dx. Argumentoni kalimet!Vetia 5(Formula e Njuton–Lajbnicit)Nëse F është një primitivë e funksionit f në [a, b], atëherë ∫abf(x) dx = F(b) – F(a).Këtë formulë do ta pranojmë pa vërtetim. Ajo jep lidhjen ndërmjet integralit të pacaktuar dhe integralit të caktuar.Ndryshesën F(b) – F(a) e shënojmë shpesh kështu: F(x)|abVetia 6Nëse kemi a < c < b, atëherë ∫abf(x) dx = ∫acf(x) dx + ∫cbf(x) dx.Vërtetim Le të jetë F një primitivë e f në [a, b]. Mund të shkruajmë: F(b) – F(a) = [F(c) – F(a)] + [F(b) – F(c)]. Duke zëvendësuar secilën nga kllapat katrore të anës së djathtë me integralin e caktuar përkatës, sipasformulës së Njuton–Lajbnicit, marrim barazimin ∫abf(x) dx = ∫acf(x) dx + ∫cbf(x) dx.Vetia 7(Teorema mbi të mesmen) Ekziston të paktën një pikë c në [a, b], e tillë që ∫abf(x) dx = f(c) · (b – a).Vërtetim Funksioni F plotëson në [a, b] kushtet e teoremës së Lagranzhit. Prandaj, ekziston të paktën një pikë c në [a, b], e tillë që F(b) – F(a) = F’(c) ·(b – a).Por F është primitivë e f, prandaj F’(c) = f(c). Barazimi i mësipërm shkruhet F(b) – F(a) = f(c) ·(b – a), d.m.th. ∫ab f(x) dx = f(c) · (b – a).Mënyra më e thjeshtë për njehsimin e integralit të caktuar është gjetja e një primitive të funksionit nën integral dhe përdorimi pastaj i formulës së Njuton-Lajbnicit.Shembulli 1Njehsoni integralet e caktuara:a) ∫13x3 dx; b) ∫0πsin x dx.Zgjidhjea) Një primitivë e funksionit f: y = x3 është F:y = 14 x4. Prandaj, sipas formulës së Njuton-Lajbnicit,kemi ∫13x3 dx = F(3) – F(1) = 14 · 34 – 14 · 14 = 804 = 20.b) Një primitivë e funksionit f: y = sinx është funksioni F: y = –cosx.Prandaj, sipas formulës së Njuton-Lajbnicit, kemi: ∫0πsinx dx = F(π) – F(0) = –cosπ – (–cos 0) = 1 + 1 = 2.Në disa raste është e dobishme të përdoren vetitë e integralit të caktuar.