Page 310 - Demo

308MATEMATIKA 1211.10 Ushtrime Shembulli 1Të njehsohet ∫0π4 (sin x + cos x)dx.ZgjidhjeLe të gjejmë një primitivë të funksionit f: y = sin x + cos x∫(sinx + cos x)dx = ∫sinx dx + ∫ cos x dx = – cos x + sinx.Atëherë: ∫0π4(sinx + cos x)dx = (– cos x + sinx)|0π4 = (– cos π4 + sin π4 ) – (– cos 0 + sin0) = – 22 + 22 + 1 = 1.Shembulli 2Të njehsohet ∫–2–1 (x – 1)3x4 – x3 dx.ZgjidhjeLe të gjejmë një primitivë të funksionit f: y = (x – 1)3x4 – x3 .∫(x – 1)3x4 – x3 dx = ∫ (x – 1)3x3 (x – 1) dx = ∫(x – 1)2x3 dx = ∫x2 –2x + 1x3 dx = ∫( x2x3 – 2xx3 + 1x3 ) dx= ∫ 1xdx – ∫ 2x2 dx + ∫ 1x3 dx = ln|x| – 2∫x–2 dx + ∫x–3 dx = ln |x| – 2 · x–2+1–2 + 1 + x–3+1–3 + 1 = ln|x| + 2x – 12x2.Atëherë: ∫–2–1 (x – 1)3x4 – x3 dx = (ln|x| + 2x – 12x2) |–2–1= (ln|–1| + 2–1 – 12(–1)2 ) – ln |–2| + 2–2 – 12(–2)2 = ln1 – 2 – 12 – ln 2 + 1 + 18 = –11 – 8 ln28 .Shembulli 3Të njehsohet ∫–10(1 – 3x)4 dx.ZgjidhjeLe të gjejmë një primitivë të funksionit f: y = (1 – 3x)4 .∫(1 – 3x)4 dx = – 13 ∫(1 – 3x)4 d (1 – 3x) = – 13 · (1 – 3x)55 = – (1 – 3x)515 .Atëherë: ∫–10(1 – 3x)4dx = [– (1 – 3x)515 ] |–10 = – (1 – 3 · 0)515 + (1 + 3)515 = – 115 + 4515 = 102315 = 3415 .Shembulli 4Të njehsohet ∫–10ex (ex + 1)3 dx.ZgjidhjeLe të gjejmë një primitivë të funksionit f: y = ex (ex + 1)3.∫ ex (ex + 1)3 dx = ∫(ex + 1)3 d(ex + 1) = (ex + 1)44 .Atëherë: ∫–10ex (ex + 1)3 dx = (ex + 1)44 |–10 = (e0 + 1)44 – (e–1 + 1)44 = 4 – (e–1 + 1)44 .