Page 311 - Demo

11. NJEHSIMI INTEGRAL309USHTRIMEShembulli 5Të njehsohet ∫0π2sinx (cos x + 1)3 dx.ZgjidhjeLe të gjejmë një primitivë të funksionit f: y = sinx (cos x + 1)3.∫sinx (cos x + 1)3 dx = – ∫(cos x + 1)3 d(cos x + 1) = – (cos x + 1)44Atëherë: ∫0π2sinx (cos x + 1)3 dx = (– (cos x + 1)44 ) |0π2= – (cos π2 + 1)44 – [– (cos 0 + 1)44 ] = – 14 + 164 = 154 .Shembulli 6Të njehsohet ∫01x2 x3 + 1 dx.Zgjidhje Le të gjejmë një primitivë të funksionit f: y = x2 x3 + 1.∫ x2 x3 + 1 dx = ∫ x2 (x3 + 1)12 dx = 13 ∫(x3 + 1)12 d(x3 + 1) = 13 · (x3 + 1)12 +112 + 1 = 29 (x3 + 1)32Atëherë: ∫01x2 x3 + 1 dx = 29 (x3 + 1)32 |01= 29 (13 + 1)32 – 29 (0 + 1)32 = 29 · 232 – 29 · 1 = 29 · (232 – 1) = 29 ( 23 – 1)Shembulli 7Njehsoni integralin: ∫ee21x lnxdxZgjidhje: Le të gjejmë një primitivë të funksionit f: y = 1x lnx. Atëherë, kemi: ∫ 1x ln xdx = ∫( 1x · 1lnx)dx = ∫ d(lnx)lnxDuke shënuar u = lnx, marrim ∫ 1x lnxdx = ∫duu = lnu = ln(lnx)Atëherë: ∫ee21x ln xdx = ln(lnx) |ee2= ln(lne2) – ln(lne) = ln2 – ln 1 = ln 2Të njehsohen integralet e mëposhtme:1 ∫01xx2 + 1 dx; ∫–11xx2 – 2 dx; ∫–2–1xx2 + 1 dx; ∫–10x2 – x2 dx;2 ∫01x x2 + 1 dx; ∫–11x 1 – x2 dx; ∫–2–1x x2 + 1 dx; ∫–10x 1 – x2 dx;3 ∫01ex (ex + 1)dx; ∫–10ex (ex – 1) dx; ∫–11ex (1 – ex) dx;4 ∫–π 4π4sin x cos x dx; ∫0π2sin x cos x dx; ∫–π 3π3sin x cos x dx; ∫–π 30sin x cos x dx;5 ∫0π3 cos x1 + sin xdx; ∫0π4 sinx1 + cos xdx; ∫–π3–π4sin x1 – cos xdx; ∫–π 30cos x1 – sin xdx;