Page 312 - Demo

310MATEMATIKA 1211.11 Zbatime të integralit të caktuar për njehsimin e syprinave të figuraveA Kërkoni dhe zbuloni (Punë në grupe)1. Njehsoni syprinën e trapezit vijëpërkulur, që kufizohet nga grafiku i funksionit f: y = 3x2, boshti Ox dhe drejtëzat x = 1; x = 2.2. Njehsoni syprinën e trapezit vijëpërkulur, që kufizohet nga grafiku i funksionit f: y = –3x2, boshti Ox dhe drejtëzat x = 1; x = 2.B Vrojtoni dhe mësoniËshtë dhënë funksioni f: y = f(x) i vazhdueshëm në [a, b]. Kërkohet të gjendet syprina e figurës së kufizuar nga grafiku i funksionit y = f(x), drejtëzat y = 0, x = a dhe x = b. a) Në qoftë se f(x) ≥ 0 ∀x∈[a, b], ne kemi parë që syprina e trapezit vijëpërkulur ABCD (fig. 11.6) është S = ∫abf(x) dx.Njëlloj janë edhe rastet kur nuk kemi të bëjmë me trapez vijëpërkulur, por me një trekëndësh vijëpërkulur si në fig.11.7/a, b, ose trekëndësh si në fig.11.7/c:O a xa) b) c)byO a b xyO a b xx = byFig. 11.7/a, b, cb) Në rastin kur f(x) ≤ 0 ∀x∈[a, b], shqyrtojmë simetriken e figurës sonë (të vizuar) kundrejt boshtit Ox (fig. 11.8). Kjo simetrike kufizohet nga boshti Ox, drejtëzat x = a; x = b, si dhe grafiku i funksionit –f, që është –f(x) ≥ 0 ∀x∈[a, b] (fig. 11.8).Prandaj, syprina e figurës simetrike do të jetë: S = ∫ab[–f(x)]dx (sipas rastit a). Si rrjedhojë, edhe syprina e figurës sonë do të jetë po kaq. Kështu, në rastin (b), syprina e kërkuar është S = – ∫abf(x) dx.c) Në rastin kur funksioni y = f(x) është i tillë që f(x) ≥ 0 ∀x∈[a, c] dhe f(x) ≤ 0 ∀x∈[c, b], atëherë syprina e kërkuar gjendet si shumë syprinash të dy pjesëve (fig. 11.9) dhe është: S = ∫acf(x) dx + ∫cb– f(x)dx.O b xDA BCaf (x)yFig. 11.6Fig. 11.8xf (x)–f (x)aby