Page 315 - Demo

11. NJEHSIMI INTEGRAL31311.12 UshtrimeShembulli 1Të njehsohet syprina e figurës së kufizuar nga vija y = x2 + 4xdhe drejtëza y = 0.ZgjidhjeGjejmë pikat ku grafiku pret boshtin x' x. Për këtë formojmë sistemin:{y = 0y = x2 + 4x⇒ x2 + 4x = 0 ⇔ x (x + 4) = 0 del x = 0, x = –4Nga figura 11.15 duket se në [–4,0] kemi x2 + 4x ≤ 0, prandaj S = ∫–40 – (x2 + 4x) dx.Gjejmë një primitivë të funksionit y = –(x2 + 4x) ∫ – (x2 + 4x) dx = ∫ –x2dx – ∫4x dx = – x33 – 2x2Atëherë: S = ∫–40 –(x2 + 4x)dx = (– x33 –2x2) |–40= 0 – (– (–4)33 –2(–4)2)Përfundimisht: S = 323 (njësi katrore).Shembulli 2Të njehsohet syprina e figurës së kufizuar nga vijat y = x2 – 4x + 5 dhe y = x + 1.ZgjidhjeGjejmë pikat e prerjes së grafikëve, abshisat e të cilëve do të jenë kufijtë e integrimit (fig. 11.16).{y = x2 – 4x + 5y = x + 1 ⇒ x2 – 4x + 5 = x + 1⇔ x2 – 5x + 4 = 0 ⇒ x = 1, x = 4Atëherë: S = ∫14 [x + 1 – (x2 – 4x + 5)] dx = ∫14 (–x2 + 5x – 4)dx.Gjejmë një primitivë të funksionit ∫(–x2 + 5x – 4) dx = ∫ –x2 dx + ∫5xdx – ∫4dx = – x33 + 5x22 –4xPrandaj: S = ∫14 (–x2 + 5x – 4) dx =(– x33 + 5x22 – 4x) |14= (– 433 + 5 · 422 –4 · 4) – (– 13 + 52 –4) = (– 643 + 802 –16) – ( –2 + 15 – 246 )Përfundimisht: S = 92 (njësi katrore).Shembulli 3Cila është syprina e zonës që kufizohet nga drejtëzat me ekuacione y = x4, y = 2x dhe vija me ekuacion y = 2x2?Fig. 11.15xy0 1-1-1-2-3 -2-3-4-41xyy = x + 1y = x2 – 4x + 50 11-1-1 2 324 5345Fig. 11.16