Page 316 - Demo

314MATEMATIKA 12USHTRIMEZgjidhjeBëjmë përsëri një figurë për të parë më qartë se cila është zona, syprinën e së cilës duam të gjejmë (fig. 11.17). Shihet se zona e kërkuar përbëhet nga dy zona, syprinat e të cilave mund të llogariten me anë të integralit të caktuar. Gjejmë në fillim koordinata e pikëprerjes së drejtëzave me vijën. Për këtë zgjidhim sistemet:y = 2x2y = 2x⇒ 2x2 = 2x ⇒ x3 = 1 ⇒ x = 1 dhe y = 2x2y = x4⇒ 2x2 = x4 ⇒ x3 = 8 ⇒ x = 2Pastaj kemi:S1 = ∫01 (2x – x4 ) dx = ∫01 7x4 dx = 78 dheS2 = ∫12 ( 2x2 – x4 ) dx = ∫12 2x2 dx – ∫12x4 dx = [– 2x – x28 ]|12 = (– 22 – 228 ) – (– 21 – 128 ) = 58Atëherë: S = S1 + S2 = 32 njësi katrore.1 Gjeni syprinën e zonës që kufizohet nga vijat me ekuacione y = x3 dhe y = 3x2 – 2x në segmentin [0; 1].2 Gjeni syprinën e figurës që kufizohet nga vija me ekuacion y = 4 – x2 dhe drejtëzat y = 3x e y = –3x.3 Gjeni se për cilën vlerë të m, drejtëza me ekuacion y = m e ndan në dy pjesë, me syprina të barabarta, zonën e kufizuar nga parabola me ekuacion y = x2 dhe drejtëza me ekuacion y = 9.4 Gjeni syprinën e zonës që kufizohet nga vijat me ekuacione y = x3, y = 2x2 – 3 dhe drejtëzat x = 0 e x = 3.5 Gjeni syprinën e zonës që kufizohet nga vijat me ekuacione y = x3 – 1, y = x2 – 1 dhe drejtëzat x = –1 dhe x = 1.6 Gjeni syprinën e zonës që kufizohet nga vijat me ekuacione y = x2 – 1, y = x22 dhe drejtëzat x = –2 e x = 2.7 Gjeni syprinën e zonës që kufizohet nga vijat me ekuacione y = 1x, y = x dhe drejtëzat x = 1 e x = 2.8 Gjeni syprinat e zonave që kufizohen nga vijat me ekuacione y = f(x) dhe y = g(x), ku:a) f(x) = x2; g(x) = x + 3; b) f(x) = –x2 – 2x – 3; g(x) = 2x + 2;c) f(x) = x2 – 2x – 3; g(x) = –x2 + 1; d) f(x) = x; g(x) = x2 3 ;9 Në figurën 11.18 janë dhënë grafikët e funksioneve y = xn; y = xn . A ka ndonjë numër natyror n të tillë që dy syprinat e zonave të ngjyrosura në figurë të jenë të barabarta?10 Duke përdorur metodën e integrimit me pjesë, gjeni syprinën e figurës që kufizohet:a) nga vija me ekuacion y = lnx dhe boshti i abshisave për x nga [2; 4];b) nga vija me ekuacion y = (–x – 2)e–x dhe boshti i abshisave për x nga [–2; 1];c) nga vijat me ekuacione y = ln2x, y = 2lnx për x nga [1; 3].xy0 11-1 2 324y = 2xy = 345 x 4y = 2x2Fig 11.17xy11y = xnFig. 11.18