Page 317 - Demo

11. NJEHSIMI INTEGRAL31511.13 Njehsimi i vëllimeve të trupave A Kërkoni dhe zbuloni (Punë në grupe)Shqyrtoni rrethin me ekuacion x2 + y2 = R2. Le të mendojmë se kryhet një rrotullim i plotë rreth boshtit Ox i zonës që kufizohet nga vetë ky bosht dhe gjysma e sipërme e rrethit (ajo mbi boshtin Ox). a) Cili është trupi që formohet? Sa është vëllimi i tij?b) Nga ekuacioni i rrethit, nxirrni y2 dhe njehsoni π ∫R–Ry2dx. Ç’vini re?B Vrojtoni dhe mësoniI. Vëllimi i trupit kur njihen syprinat e prerjeve të tijLe të jetë dhënë një sistem koordinativ kënddrejtë në hapësirë (O; i, j, k) dhe le të konsiderojmë si njësi për matjen e vëllimit të trupave, vëllimin e kubit të ndërtuar mbi brinjët i, j, k.Teorema që vijon tregon se sa është vëllimi i një trupi në hapësirë, që ndodhet midis dy planeve paralele z = a dhe z = b, për të cilin njohim syprinën e çdo prerjeje të trupit me një plan paralel me planet z = a dhe z = b. Teoremën nuk do ta vërtetojmë.Teoremë:Vëllimi i trupit që ndodhet midis planeve Pa dhe Pb me ekuacione përkatësisht z = a dhe z = b, është: V = ∫baS(t)dt, ku S(t) është syprina e prerjes së trupit me planin meekuacion z = t dhe S(t) është funksion i vazhdueshëm në [a; b] (figura 11.19).Shembulli 1 Vëllimi i sferësËshtë dhënë sfera me qendër në origjinë O dhe me rreze R (fig. 11.20).Për çdo t · [–R; R], plani P me ekuacion z = t, paralel me planin xOy, e pret sferën sipas qarkut Q me rreze që varet nga t; e shënojmë r(t) rrezen e tij.Nga teorema e Pitagorës, në trekëndëshin kënddrejtë gjejmë se r2(t) = R2 – t2.Atëherë syprina e qarkut Q është: S(t) = πr2(t) = π(R2 – t2)Rrjedhimisht, vëllimi i sferës është:V = ∫R–RS(t)dt = ∫R–Rπ(R2 – t2) dtPërfundimisht, vëllimi i sferës është: V =π[R2 t – t33 ]–RR = 2π[R3 – R33 ] = 43 πR3ba PaPbS(t)Fig. 11.19zyxS(t) r(t) tRR0Fig. 11.20