Page 318 - Demo

316MATEMATIKA 12Shembulli 2 Vëllimi i konitËshtë dhënë koni me bosht Oz, me kulm A dhe lartësi h, baza e të cilit është një rreth në planin xOy me qendër në origjinë O (fig. 11.21).Për çdo t ∈ [0; h], plani me ekuacion z = t pret konin sipas një qarku me rreze që varet nga t; e shënojmë r(t) rrezen e tij. Nga ngjashmëria e trekëndëshave OAC dhe DAB, mund të shkruajmë: ADDB = AOOC; pra, h – tr(t) = hR. Rrjedhimisht, r(t) = Rh (h – t).Në këtë mënyrë, syprina e qarkut me rreze r(t) është S(t) = πr2(t) = π R2h2 (h – t)2. Sipas teoremës, vëllimi i konit është:V = ∫h0S(t)dt = ∫h0π R2h2 (h – t)2 dt = π R2h2 ∫h0(h – t)2 dt = π R2h2 [– 13 (h – t)3]0hPërfundimisht: V = π R2h2 [13 h3] = 13πR2h.II. Vëllimi i trupit të rrotullimitËshtë dhënë funksioni f: y = f(x) jonegativ në [a, b]. Nëse trapezi vijëpërkulur ABCD i kufizuar nga vijat y = f(x); y = 0; x = a; x = b (fig. 11.22) rrotullohet rreth Ox, atëherë vërtetohet se vëllimi i trupit të rrotullimit që formohet, jepet nga formula: V = π ∫baf 2(x) dx, pra V = π ∫bay2dxNëse rrotullojmë rreth boshtit Ox figurën e kufizuar nga drejtëzat x = a; x = b dhe grafikët e dy funksioneve f; g, të tillë që f(x) ≥ g(x) në [a, b], atëherë vëllimi i trupit të përftuar jepet nga formula: V = π ∫ba[f 2 (x) – g2 (x)]dx (fig. 11.23).Shembulli 3Të gjendet vëllimi i trupit të formuar nga rrotullimi rreth boshtit Ox i figurës së kufizuar nga drejtëzat x = 0; x = 2 dhe parabola y = x2.ZgjidhjeDuke skicuar figurën, gjejmë që:V = π ∫20y2 dx = π ∫20x4 dx = π · 15 x5 |02 = π5 (25 – 05) = 32π5Shembulli 4Të gjendet vëllimi i trupit të përftuar nga rrotullimi rreth boshtit Ox të zonës së kufizuar nga vijat y2 = 8x dhe y = x2 (fig. 11.24).ZgjidhjePër të përcaktuar kufijtë e integrimit, gjejmë pikëprerjet e vijavetë dhëna, duke zgjidhur sistemin {y2 = 8xy = x2 ⇒ 8x = x4, prej ku gjejmë x = 0; x = 2. Meqenëse, sikurse shihet nga figura, në segmentin [0, 2] kemi 8x ≥ 0, shkruajmë: V = π ∫20[f 2 (x) – g2 (x)]dx = π ∫20(8x – x4)dx = ... = 485 π.Fig. 11.21Azhr(t)t B0 C yxDFig. 11.22ABDy C0Fig. 11.23yxy = f (x)y = g(x)0Fig. 11.24yx0 2