Page 320 - Demo

318MATEMATIKA 1211.14 Gjatësia e harkut të vijës. Syprina e sipërfaqes së rrotullimitA Kërkoni dhe zbuloni (Punë në grupe)Shqyrtoni trekëndëshin kënddrejtë që kufizohet nga grafiku i funksionit f: y = rh x, boshti Ox dhe drejtëza x = h.a) Njehsoni gjatësinë e hipotenuzës. Krahasoni atë me ∫h01 + [f '(x)]2 dx.b) Mendoni një rrotullim të plotë të këtij trekëndëshi rreth boshtit Ox. Çfarë trupi formohet? Njehsoni syprinën e sipërfaqes anësore të tij. Krahasoni atë me 2π ∫h0f(x) · 1 + [f '(x)]2 dx.B Vrojtoni dhe mësoniI. Le të jetë dhënë funksioni f: y = f(x) me derivat të vazhdueshëm në segmentin [a, b]. Shënojmë A; B pikat e grafikut me abshisa përkatësisht a; b. Vërtetohet që gjatësia e harkut AB të vijës me ekuacion y = f(x) (grafikut të funksionit) jepet nga formula:l = ∫ba1 + [f '(x)]2 dxShembulli 1Të gjendet gjatësia e harkut të vijës me ekuacion y = x3, nga origjina O(0; 0) deri te pika B(1; 1).ZgjidhjeKemi f(x) = x32 dhe f’(x) = 32 · x12. Prandaj 1 + [f '(x)]2 = 1 + 94 · x . Një primitivë e këtij funksioni është F: y = 827 (1 + 94 x)32. Prandaj, gjatësia e harkut të kërkuar është: l = ∫101 + [f '(x)]2 dx = F(1) – F(0) = 13 · 13 – 827 .II. Le të na jetë dhënë funksioni f: y = f(x) që ka derivat të vazhdueshëm në segmentin [a, b]. Duke bërë një rrotullim të plotë të grafikut të tij, për x∈[a, b], rreth boshtit Ox, merret një sipërfaqe rrotullimi. Syprinae kësaj sipërfaqeje jepet nga formula: S = 2π ∫baf(x) · 1 + [f '(x)]2 dx që shënohet shkurt kështu: S = 2π ∫bay · 1 + [y ']2 dx.Shembulli 2Të nxirret formula për syprinën e kësulës sferike.ZgjidhjeLe ta zëmë se gjysmërrethi me qendër në origjinë dhe rreze që ndodhet mbi boshtin Ox, rrotullohet rreth boshtit Ox. Shqyrtojmë harkun AB të këtij rrethi, që kufizohet nga pikat me abshisa përkatësisht a; b. Të gjejmë syprinën e kësulës sferike që formohet.