Page 321 - Demo

11. NJEHSIMI INTEGRAL319USHTRIMEEkuacioni i rrethit është x2 + y2 = R2. Për gjysmën e sipërme të tij, nxjerrim: y = R2 – x2. Duke derivuar, gjejmë: yx' = –xR2 – x2 ⇒ 1 + (yx')]2 = RR2 – x2 ⇒ y. 1 + (yx')]2 = R.Prandaj, nga formula S = 2π ∫bay · 1 + [y ']2 dx, në rastin tonë gjejmë: S = 2π ∫baRdx = 2πR(b – a)Meqenëse b – a = h është lartësia e kësulës sferike, nxjerrim formulën për syprinën e kësulës sferike me lartësi h, që ndodhet në sferën me rreze R: S = 2πR · h.C Ushtrohuni duke zbatuar1. Gjeni gjatësinë e harkut të vijës y = ex, për x∈[0, 1].2. Gjeni syprinën e sipërfaqes që përftohet nga rrotullimi rreth boshtit Ox të harkut të vijës y = x + 1, për x ∈[1, 3].1 Gjeni gjatësitë e harqeve të vijave të mëposhtme:a) y = x ; x∈[0, 1]; ; b) y = lnx, x∈[ 3 , 8 ];c) y = e2x, x∈[1, 2]; d) y = lncox, x∈[0, π4 ].2 Gjeni syprinën e sipërfaqes që përftohet duke rrotulluar rreth boshtit Ox harkun e vijës së mëposhtme:a) y = 2x, x∈[3, 5]; b) y = ex, x∈[0, 2]; c y = sinx, x∈[0, π2 ].3 Gjeni gjatësinë e harkut të vijës y = a2 (exa + e– xa), nga pika me abshisë x = 0, tek ajo me abshisë x = b (a > 0; b > 0).4 Gjeni gjatësinë e harkut të vijës 5y3 = x2, i cili ndodhet brenda rrethit x2 + y2 = 6.5 Gjeni syprinën e sipërfaqes së përftuar nga rrotullimi rreth boshtit Oxi harkut të parabolës y2 = 4ax (a > 0), që kufizohet nga origjina dhe pika me abshisë x = 3a.6 Gjeni syprinën e sipërfaqes së përftuar nga rrotullimi rreth boshtit Ox i harkut të vijës 3y – x3 = 0, që kufizohet nga pikat me abshisa x = 0; x = 1.Shembulli 3Gjeni syprinën e sipërfaqes së përftuar nga rrotullimi rreth boshtit Ox i vijës y = 9 – x2 që kufizohet nga pikat me abshisa x = −2; x = 2.ZgjidhjeKemi: f(x) = 9 – x2 dhe f ’(x) = –2x2 9 – x2 = –x9 – x2 ⇒ 1 + (f '(x))2 = 1 + x29 – x2 = 39 – x2 ⇒y · 1 + (f '(x))2 = 9 – x2 · 39 – x2 = 3Atëherë, kemi: S = 2π ∫2–23dx = 2π(3x) |–22 = 12π + 12π = = 24π |–22