Page 322 - Demo

320MATEMATIKA 1211.15 Zbatime të integralit të caktuar në fizikë A Kërkoni dhe zbuloni (Punë në grupe)Një pikë materiale, gjatë segmentit kohor [0, 4] (sek), zhvendoset gjatë boshtit Ox me shpejtësi që ndryshon sipas ligjit v(t) = t2 + 1 (m/sek).a) Gjeni një primitivë të funksionit v = v(t). Cili është kuptimi fizik i saj?b) Njehsoni ∫40t2 + 1)dt. Cili është kuptimi fizik i tij?B Vrojtoni dhe mësoniIntegrali i caktuar përdoret edhe në fizikë për zgjidhjen e problemave të mekanikës, të elektronikës etj.I. Rruga e përshkuar në një lëvizje drejtvizoreSupozojmë se një pikë materiale zhvendoset në një drejtëz, me shpejtësi që është funksion i kohës. E supozojmë shpejtësinë e saj pozitive, gjatë një segmenti të caktuar kohor. Le të jetë s = s(t) funksioni i kohës që përshkruan lëvizjen e pikës materiale [s(t) është distanca që përshkon pika nga momenti i fillimit (t = 0) deri në momentin t]. Atëherë, shpejtësia e çastit e pikës materiale në momentin t0 është v(t0) = s’(t0).Me fjalë të tjera s = s(t) është primitiva e funksionit shpejtësi dhe rrjedhimisht, rruga e përshkuar në segmentin e kohës [0; a] është: s(a) = ∫a0v (t) dtGjatë intervalit të kohës [t1, t2], pika materiale përshkon rrugën: s(t2) – s(t1) = ∫t2t1v (t) dtShembulli 1Në një lëvizje drejtvizore, shpejtësia e një pike materiale në funksion të kohës është v(t) = t2 – 3t + 2.Rruga e përshkuar nga pika, nga momenti t = 1 deri në momentin t = 4 (vëmë re se në [1, 4] kemi v(t) ≥ 0), është: ∫41(t2 – 3t + 2)dt = 92 .Shembulli 2Një pikë zhvendoset në një lëvizje drejtvizore me shpejtësi të çastit v(t) = (2t + 3) m/sek. Dihet gjithashtu se deri në momentin t = 1, pika ka përshkuar distancën 5 m. Cili është funksioni s = s(t) që përshkruan lëvizjen e pikës në kohë (pra që jep në çdo çast t rrugën e përshkuar nga pika që nga momenti i fillimit të lëvizjes)?ZgjidhjeËshtë e qartë se s = s(t) është një primitivë e v = v(t). Nga kushti, ajo që kërkohet është primitiva që kalon nga pika (1; 5), sepse s(1) = 5.Primitiva është s(t) = ∫(2t + 3)dt = t2 + 3t + cNga kushti gjejmë 12 + 3 · 1 + c = 5, pra c = 1. Pra, s(t) = t2 + 3t + 1.