Page 323 - Demo

11. NJEHSIMI INTEGRAL321II. Puna e një forceNga fizika dihet se gjatë zhvendosjes së një pike materiale sipas një drejtëze, nën veprimin e një force, kryhet një punë.Supozojmë se një pikë materiale zhvendoset në boshtin e abshisave nga pika A(a) në pikën B(b), nën veprimin e forcës F, e cila ka drejtimin e boshtit të abshisave. Supozojmë se madhësia e forcës F në pikënx të segmentit [a; b], është F = f(x).Atëherë, puna e kryer për këtë zhvendosje të pikës është: A = ∫ab f(x) dxShembulli 3Një sustë e ka njërin skaj të fiksuar në pikën P (fig. 11.28) dhe, në gjendje të lirë, skaji tjetër i saj ndodhet në pikën O. Ushtrojmë në skajin e lirë një forcë zgjatëse në drejtimin e boshtit Ox. Të gjendet puna e kryer nga kjo forcë për zgjatjen e sustës, duke kaluar skajin e saj nga pika me abshisë x1 te pika me abshisë x2..ZgjidhjeMadhësia e forcës për ta zgjatur sustën me x, është në përpjesëtim të drejtë me këtë zgjatje F = k · x. Puna e kryer për të zgjatur sustën nga gjatësia x1 te gjatësia x2 është A = ∫x2x1F · dx = ∫x2x1k · x · dx = kx22 |x1x2 = k2 (x22 – x12)Shembulli 4Supozojmë se një forcë prej 10N (në drejtimin negativ) ngjesh një sustë 0,2 m nga pozicioni fillestar. Njehsoni punën që kryen kjo forcë për të ngjeshur sustën 0,5 m nga pozicioni i fillimit.Zgjidhje: Fillimisht gjejmë konstanten k. Kur x = –0,2m, dimë që forca F(x) = –10N. Meqenëse F(x) = kx, kemi –10 = –0,2 k dhe gjejmë k = 50. Pra, F(x) = 50x.Gjejmë punën që kërkohet: A = ∫0,50F(x) dx = ∫0,50 50x dx = 25x2 |00,5 = 254 = 6,25JC Ushtrohuni duke zbatuar1. Gjeni rrugën e përshkuar nga pika materiale gjatë segmentit kohor [0, 4], në qoftë se shpejtësia e lëvizjes është v = 4t3 + 6t2.2. Sipas ligjit të Kulonit, forca elektrostatike me të cilën bashkëveprojnë dy ngarkesa pikësore q1; q2në largësi r njëra nga tjetra, është: F = k · q1 · q2r2 (ku k = konstante). Gjeni punën e kryer nga kjo forcë për të zhvendosur (shtyrë) ngarkesën e dytë nga largesa r1 në largesën r2 (teksa e para mbetet e palëvizshme).Fig. 11.28A(x1) B(x2) 0P x