Page 45 - Demo

2. VARGU NUMERIK. PROGRESIONET432.3 Vargje monotone dhe vargje të kufizuaraA Kërkoni dhe zbulonia) Tregoni nëse në vargjet me kufizë të përgjithshme yn = 4n dhe yn = 13n, kufizat vijnë duke u rritur apo duke u zvogëluar. b) Ç’mund të thoni për vargun 1, 2, 1, 2, 1, 2,…?B Vrojtoni dhe mësoniVargje monotoneNë vargun 3, 6, 12, 24, ... çdo kufizë është më e madhe se paraardhësja, pra kufizat e tij vijnë duke u rritur (me rritjen e treguesve të tyre). Ky varg, i parë si funksion numerik, është rritës.Në vargun numerik të pafundmë 1, 12, 13, …, 1n, …, çdo kufizë është më e vogël se paraardhësja, pra kufizat e tij vijnë duke u zvogëluar (me rritjen e treguesve të tyre). Ky varg, i parë si funksion numerik, është zbritës.Është e qartë se vargu f është rritës atëherë dhe vetëm atëherë kur çdo kufizë e tij është më e madhe se kufiza paraardhëse, d.m.th. kur për çdo vlerë të n nga bashkësia e përcaktimit kemi yn + 1 > yn.[sepse në këtë dhe vetëm në këtë rast kemi rritjen e vlerave të funksionit y = f(x), x∈N, kur rriten vlerat e ndryshorit x, d.m.th. treguesit e kufizave].Formuloni një përfundim të ngjashëm për rastin e vargut zbritës.Si mund të gjykojmë se një varg numerik është monoton (rritës ose zbritës)?Metoda për të studiuar monotoninë e vargutPër të studiuar monotoninë e një vargu numerik (yn) mund të përdoret një nga metodat e mëposhtme: I. Studiohet shenja e diferencës yn + 1 – yn. Shembulli 1Le të studiojmë monotoninë e vargut me kufizë të përgjithshme yn = 3n – n, n∈N. Kemi yn + 1 = 3n+1 – (n + 1), prandaj yn + 1 – yn = 3n+1 – n – 1 – [3n – n] = 3 · 3n – 3n – 1 = 2 · 3n – 1. Meqenëse 3n > 1, atëherë 2 · 3n – 1 > 0 për çdo n∈N. Vargu është rritës.II. Kur kufizat e vargut janë pozitive, krahasohet raporti yn + 1yn me 1. Shembulli 2Le të studiojmë monotoninë e vargut me kufizë të përgjithshme yn = 2nn + 1, n∈N. Kemi yn > 0 për çdo n∈N. Veç kësaj: yn + 1yn= 2n + 1n + 2 : 2nn + 1 = 2n + 1n + 2 � n + 12n = 2n + 1n + 2 dhe yn + 1yn −1 = 2n + 2n + 2 −1= nn + 2 > 0 d.m.th. yn + 1yn −1 > 0 për çdo n∈N, prej ku (meqë yn > 0) del yn+1 > yn, për çdon∈N. Vargu është rritës.