Page 46 - Demo

44MATEMATIKA 12III. Përdorim teoremën: Nëse funksioni y = f(x) është rritës (zbritës) në bashkësinë [1,+∞[, atëherë edhe vargu me kufizë të përgjithshme yn = f(n) është rritës (zbritës).Le të vërtetojmë teoremën. Ta zëmë se funksioni numerik y = f(x) është rritës në bashkësinë [1, +∞[. Atëherë, ai është rritës edhe në bashkësinë N, që është pjesë e këtij intervali. Pra, është rritës funksioni numerik y = f(x), x∈N, i cili është vargu numerik y1, y2,….., yn,…. ku yn = f(n).Shembulli 3Le të studiojmë monotoninë e vargut me kufizë të përgjithshme yn = 1n + 1, n∈N.Shqyrtojmë funksionin f: y = 1x + 1 në [1,+∞[. Ky funksion është zbritës në [1,+∞[ Prandaj vargu yn, ku yn = 1n + 1, n∈N apo yn = f(n), n∈N është zbritës.Vargje të kufizuaraThemi se vargu numerik (yn) është i kufizuar nga lart, nëse ekziston një numër real M i tillë që për çdo n∈N të kemi yn < M.Themi se vargu numerik (yn) është i kufizuar nga poshtë, nëse ekziston një numër real m i tillë që për çdo n∈N të kemi yn < m.Themi se vargu (yn) është i kufizuar nëse ai është i kufizuar edhe nga lart, edhe nga poshtë. Kjo ndodh atëherë dhe vetëm atëherë kur ekziston një numër real pozitiv k, i tillë që |yn| < k, për çdo n∈N.Ç’mund të thoni për kufizueshmërinë e një vargu rritës? Po të një vargu zbritës?Shembull 4Shqyrtojmë vargun numerik (yn), ku yn = (–1)n + 1n2 + 1 .Për çdo n∈N kemi 0 < 1n2 + 1 < 1 dhe – 1 ≤ (−1)n ≤ 1, prandaj –1 < yn < 2 (pse?). Vargu është i kufizuar.C Ushtrohuni duke zbatuar1. Tregoni që vargu me kufizë të përgjithshme yn = n2 – 52 n, n∈N, është rritës, ndonëse funksioni y = x2 – 52 x nuk është rritës në [1,+∞[.2. Le të na jetë dhënë funksioni f: y = x, x∈[1,+∞[. a) Ç’mund të thoni për monotoninë e funksionit? b) Shqyrtoni vargun e dhënë në mënyrë rekurrente: u1=16 dhe un + 1 = f(un), d.m.th. un + 1 = un.A është monoton ky varg? Ka vend teorema:Nëse funksioni f është rritës në R dhe vargu i dhënë në mënyrë rekurrente me formulën un + 1 = f(un) gëzon vetinë që u2 > u1 (u2 < u1), atëherë ky varg është rritës (zbritës). (Këtë teoremë do ta pranojmë pa vërtetim.)Teoremë:Le të jetë f një funksion numerik, i përcaktuar në ]0,+∞[, dhe (yn) një varg i tillë që yn = f(n). Nëse funksioni f është i kufizuar nga lart (nga poshtë) në ]0,+∞[, atëherë vargu (yn) është i kufizuar nga lart (nga poshtë).Për teoremën:Le të jetë f një funksion numerik, i përcaktuar në ]0, +∞[, dhe (yn) një varg i tillë që yn = f(n). Nëse funksioni f është i kufizuar nga lart (nga poshtë) në ]0, +∞[, atëherë vargu (yn) është i kufizuar nga lart (nga poshtë).Tregoni me anën e kundërshembullit që fjalia e anasjellë nuk është teoremë.