Page 49 - Demo

2. VARGU NUMERIK. PROGRESIONET47A ekziston një formulë që të shprehë kufizën e përgjithshme yn të progresionit aritmetik nëpërmjet kufizës së parë (y1), ndryshesës (d) dhe treguesit të vetë kufizës (n)?Sipas përkufizimit të progresionit aritmetik, kemi:y2 = y1 + dy3 = y2 + d = (y1 + d) + d, d.m.th. y3 = y1 + 2dy4 = y3 + d = (y1 + 2d) + d, d.m.th. y4 = y1 + 3dy5 = y4 + d = (y1 + 3d) + d, d.m.th. y5 = y1 + 4dSa është y6? Po y10? Po y100?Teoremë:Formula për kufizën e përgjithshme të një progresioni aritmetik (yn) është:yn = y1 + (n – 1)dVërtetimSipas përkufizimit të progresionit aritmetik, kemi: y2 = y1 + d, y3 = y2 + d , y4 = y3 + d,…..,yn – 1 = yn – 2 + d, yn = yn – 1 + d. Kemi shkruar (n – 1) barazime (pse?).I mbledhim ato anë për anë dhe marrim:y2 + y3 + y4 + …. + yn – 1 + yn = y1 + y2 + y3 + …. + yn – 2 + yn – 1 + d + d + ... + d (n − 1) mbledhored.m.th. (y2 + y3 + y4 + … + yn – 1) + yn = y1 + (y2 + y3 + ….yn – 2 + yn – 1) + (n – 1)dDuke u zbritur të dyja anëve shprehjen (y2 + y3 + …. + yn – 1), marrimyn = y1 + (n – 1)d. Çfarë deshëm të vërtetonim!Shembulli 2Është dhënë progresioni aritmetik i pafundmë –10, –8, …. Të gjendet y21.ZgjidhjeKemi y1 = –10 dhe d = –8 – ( – 10) = 2. Prandaj y21 = y1 + (21 – 1)d = –10 + 20 . 2 = 30.Shembulli 3Të gjendet kufiza e parë dhe ndryshesa e progresionit aritmetik, në qoftë se njihet kufiza e pestë dhe e dyzetë e tij y5 = 2 dhe y40 = 142ZgjidhjeDimë që {y5 = 2y40 = 142, d.m.th. {y1 + 4d = 2 y1 + 39d = 142 ⇒ 35d = 140 ⇒ d = 4Duke zgjidhur këtë sistem me dy ekuacione (të fuqisë së parë) dhe me dy ndryshore y1dhe d, gjejmë y1 = –14; d = 4.