Page 51 - Demo

2. VARGU NUMERIK. PROGRESIONET492.5 Shuma e n kufizave të fillimit të progresionit aritmetikA Kërkoni dhe zbuloniGjeni shumën e 100 numrave të parë natyrorë duke përdorur barazimet.S100 = 1 + 2 + 3 + … + 98 + 99 + 100 dhe S100 = 100 + 99 + 98 + … + 3 + 2 + 1Mblidhini anë për anë këto dy barazime. Çfarë vini re?B Vrojtoni dhe mësoniShqyrtojmë progresionin aritmetik të fundmë: 9, 13, 17, 21, 25, 29, 33, 37, 41.Kufizat e skajeve (e para me të fundit) janë 9 me 41 dhe shuma e tyre është 50.Kufiza të baraslarguara nga skajet janë: 13 me 37 (e dyta nga fillimi me të dytën nga fundi); 17 me 33; 21 me 29; 25 me 25. Ç’vini re për shumën e dy kufizave të baraslarguara nga skajet? Kontrolloni mendimin tuaj në progresionin aritmetik të fundmë 1, 2, 3,….,9, 99, 100.Shqyrtimi i këtyre shembujve na shtie ndër mend këtë përfundim të përgjithshëm:VërtetimLe të kemi progresionin aritmetik të fundmë: y1, y2, y3,…, yn–2, yn–1, yn me diferencë d.Kufiza të skajeve janë y1 me yn. Të baraslarguara nga skajet janë y2 me yn – 1, y3 me yn – 2 etj. Kemi y2 + yn – 1 = (y1 + d) + (yn – d) = y1 + yn y3 + yn – 2 = (y1 + 2d) + (yn – 2d) = y1 + yny4 + yn – 3 = (y1 + 3d) + (yn – 3d) = y1 + yn e kështu me radhë. (Ç.d.v.)Le të kemi progresionin aritmetik y1, y2, …, yn…. Shumën e n kufizave të fillimit të tij e shënojmë me Sn. Pra Sn = y1 + y2 + y3 +… + yn.Njehsimi i Sn duke i mbledhur kufizat një pas një do të kërkonte mjaft kohë. Do të nxjerrim një formulë të thjeshtë për njehsimin e saj.E shkruajmë shumën Sn dy herë, duke ndryshuar në rastin e dytë radhitjen e mbledhorëve në të kundërt:Sn = y1 + y2 + y3 + … + yn–2 + yn–1 + yn (1)Sn = yn + yn–1 + yn–2 + … + y3 + y2 + y1 (2)Mbledhim anë për anë barazimet (1) dhe (2). Kemi:2Sn = (y1 + yn) + (y2 + yn – 1) + (y3 + yn – 2) + …. + (yn – 2 + y3) + (yn – 1 + y2) + (yn + y1)Në anën e djathtë janë n kllapa dhe shuma brenda çdo kllape është e barabartë me y1 + yn (Pse?).Prandaj: 2Sn = (y1 + y2) · n d.m.th. Sn= (y1 + yn) · 12Shembulli 1Të gjendet shuma e numrave natyrorë prej 1 deri në n.ZgjidhjeVargu 1, 2, 3,…, n është një progresion aritmetik me n kufiza, në të cilin y1 = 1 dhe yn = n. Prandaj, shuma n e kufizave të para të këtij vargu është:Sn = (1 + n) · n2 , d.m.th. 1 + 2 +3 ... + n = n · (n + 1)2 .Teoremë:Në progresionin aritmetik të fundmë, shuma e dy kufizave të baraslarguara nga skajet është e barabartë me shumën e kufizave të skajeve.