Page 53 - Demo

2. VARGU NUMERIK. PROGRESIONET512.6 Progresioni gjeometrik. Formula për kufizën e çfarëdoshme të tijA Kërkoni dhe zbuloniÇ’vini re te vargjet:a) 10, 1, 110, 1100,…… b) 3, –3, 3, –3, …?B Vrojtoni dhe mësoniShqyrtoni vargun numerik 2, 6, 18, 54, 162.Vëmë re që çdo kufizë e tij, duke filluar nga e dyta, është sa prodhimi i kufizës paraardhëse me të njëjtin numër (3). Përkufizim: Vargu numerik me kufiza të ndryshme nga zero, në të cilin çdo kufizë, duke filluar prej të dytës, është e barabartë me prodhimin e kufizës paraardhëse me të njëjtin numër, quhet progresion gjeometrik.Ky numër quhet herës i progresionit gjeometrik, zakonisht ai shënohet q.Sipas përkufizimit, vargu numerik (yn), ku yn ≠ 0, është progresion gjeometrik atëherë dhe vetëm atëherë kur për çdo vlerë të n nga bashkësia e përcaktimit (n ≥ 2) kemi:yn = q . yn – 1 Ky barazim është i njëvlershëm me: ynyn - 1 = qPra, vargu numerik (yn), ku yn ≠ 0, është progresion gjeometrik atëherë dhe vetëm atëherë kur herësi i çdo kufize, duke filluar nga e dyta, me kufizën paraardhëse është një numër konstant.Vëmë re që progresioni gjeometrik me kufizë të parë pozitive dhe q > 1 është varg rritës. Progresioni gjeometrik me y1 > 0 dhe 0 < q < 1 është varg zbritës.Kur q = 1, të gjitha kufizat e progresionit gjeometrik janë të barabarta ndërmjet tyre.Shembulli 1A është progresion gjeometrik vargu i dhënë me formulën yn = 2n, n∈N?ZgjidhjeNë këtë varg të pafundmë, marrim herësin e kufizës së çfarëdoshme yn me paraardhësin e saj yn – 1 = 2n – 1dhe kemi: ynyn - 1 = 2n2n − 1 = 2n − (n −1), d.m.th. ynyn - 1 = 2 për çdo n ≥ 2.Ky është progresion gjeometrik me herës q = 2.Le të kemi një progresion gjeometrik me kufizë të parë y1 dhe herës q. Sipas përkufizimit, kemi:y2 = y1 · qy3 = y2 · q = (y1 · q)q d.m.th. y3 = y1 · q2y4 = y3 · q = (y1 · q2) · q d.m.th. y4 = y1 · q3y5 = y4 · q = (y1 · q3) · q d.m.th. y5 = y1 · q4