Page 54 - Demo

52MATEMATIKA 12Ç’mund të thoni për y6? Për y10? Për yn?Arsyetimet e mësipërme na shtien në mend këtë përfundim të përgjithshëm:Teoremë:Në progresionin gjeometrik me kufizë të parë y1 dhe herës q, kufiza e n-të jepet nga formula: yn = y1 · qn – 1VërtetimPër progresionin gjeometrik (yn) me herës q, siç pamë më lart, mund të shkruajmë:y2y = q y3y2 = q y4y3 = q yn − 1yn − 2 = q ynyn − 1 = qKemi shkruar (n – 1) barazime (pse?). I shumëzojmë ato anë për anë dhe marrim:y2y1 · y3y2 · y4y3 ... yn − 1yn − 2 · ynyn − 1 = q · q · q ... q(n − 1) faktorëPas thjeshtimeve në anën e majtë do të kemi:yny1 = qn − 1, d.m.th. yn = y1 · qn − 1. Çfarë deshëm të vërtetonim!Shembulli 2 a) Në progresionin gjeometrik me y1 = 35 dhe q = 12, le të gjejmë y5.Kemi y5 = y1 · q5 – 1 = ( 35) · ( 12)4 = 380.b) Në progresionin gjeometrik me kufizë të parë y1 dhe herës q le të shprehim y10, yn – 1 nëpërmjet tyre:Kemi y10 = y1 · q10–1 = y1 · q9 ; yn–1 = y1 · q(n–1) – 1 = y1 · qn–2Formula për kufizën e n-të të progresionit gjeometrik yn = y1 · qn – 1 mund të shkruhet yn = y1q · qn. Kjo kufizë është vlera e funksionit y = y1q · qx për x = n.Pra, progresioni gjeometrik është funksion i dhënë me formulën y = y1q · qx ku x∈N ose x∈{1, 2, 3, …, k}. Këtë lloj funksioni (që quhet funksion eksponencial) ne do ta shqyrtojmë hollësisht më tej.C Ushtrohuni duke zbatuar1. Shkruani 6 kufizat e para të progresionit gjeometrik duke ditur që:a) y1 = 4 dhe q = 2;b) y1 = 12 dhe q = 12.2. a) Kufizat e para të progresionit gjeometrik janë 2, 10,…. Gjeni y3 dhe y4.b) Gjeni y5 dhe y10 në progresionin gjeometrik 3, 32, 34, ...