Page 56 - Demo

54MATEMATIKA 122.7 Shuma e n kufizave të fillimit të progresionit gjeometrikA Kërkoni dhe zbuloniNë progresionin gjeometrik (yn) me herës q = 1, gjeni shumën e n kufizave të fillimit: y1 + y2 + … + yn.B Vrojtoni dhe mësoniLe të jetë vargu (yn) një progresion gjeometrik me herës q ≠ 1. Shënojmë me Snshumën e n kufizave të fillimit të këtij progresioni.(1) Sn = y1 + y2 + … + yn – 1 + ynLe të gjejmë Sn. Shumëzojmë të dyja anët e barazimit (1) me q dhe marrim(2) q · Sn = y1 · q + y2 · q + … + yn–1 · q + yn · q Por y1 · q = y2, y2 · q = y3, … yn – 1 · q = yn. Barazimi (2) shkruhet: (3) q · Sn = y2 + y3 + … yn + yn · qZbresim anë për anë nga barazimi (3) barazimin (1)q · Sn – Sn = (y2 + y3 + … + yn + yn · q) – (y1 + y2 + … +yn)Pra q · Sn – Sn = yn · q – y1 d.m.th. (q – 1) · Sn = yn · q – y1. Duke i pjesëtuar të dyja anët me q – 1 ≠ 0, marrim:(4) Sn = yn · q − y1q − 1 .Shumën Sn ne mund ta shprehim edhe nëpërmjet n, y1, q.Për këtë, në formulën (4) zëvendësojmë yn me y1 · qn – 1. Do të marrim (5) Sn = y1 · qn − 1q − 1 .Shembulli 1Të gjendet shuma e 6 kufizave të fillimit të progresionit gjeometrik 1, 3,…ZgjidhjeNë këtë progresion gjeometrik, kemi y1 = 1 dhe q = 31 = 3.Kërkohet S6 = y1 + y2 + y3 + … + y6 (pra n = 6).Përdorim formulën (5): S6 = y1q6 − 1q − 1 = 1 · 36 − 13 − 1 = 36 − 12 = 364.Dy formulat kryesore të progresionit gjeometrik lidhin 5 ndryshore y1, yn, q, n, Sn. Kur njohim vlerat e tri prej këtyre ndryshoreve përftojmë një sistem yn = y1 · qn − 1Sn = yn · q − y1për të gjetur vlerat e dy ndryshoreve të tjera. q − 1