Page 58 - Demo

56MATEMATIKA 122.8 Ushtrime1 a) Shkruani katër kufizat e fillimit të progresionit aritmetik me kufizë të parë y1 = 2 dhe diferencë d = 2.b) Shkruani katër kufizat e fillimit të progresionit gjeometrik me kufizë të parë y1 = 2 dhe me herës q = 2.c) Gjeni shpejtësinë mesatare të ndryshimit të secilit progresion kur kalojmë nga y1 në y4. Cili rritet më shpejt?2 a) Shkruani të gjitha kufizat e vargut të dhënë me formulën yn = 2n − 1n , n∈{1, 2, 3, 4, 5} dhe ndërtoni grafikun e tij.b) A është ky varg progresion aritmetik? Gjeometrik?3 a) A është kufizë e progresionit aritmetik 3, 6,…, numri 420?b) A është kufizë e progresionit aritmetik 4,2,…, numri 116 ?4 Vlerat e ndryshores x janë kufiza të progresionit aritmetik x1, x2, …, xn, …, me diferencë d. Tregoni që:a) vlerat përgjegjëse y1, y2, …, yn, … të funksionit y = 3x + 5 janë kufiza të një progresioni aritmetik me diferencë 3d;b) vlerat përgjegjëse të funksionit y = 3 · 2x janë kufiza të një progresioni gjeometrik me herës q = 2d.5 Të vërtetohet se çdo kufizë e progresionit aritmetik, duke filluar nga e dyta, është e mesme aritmetike e kufizës paraardhëse me kufizën pasardhëse.ZgjidhjeLe të jetë yn një kufizë e çfarëdoshme e progresionit aritmetik (n ≥ 2). Paraardhësja e saj është yn – 1, kurse pasardhësja yn + 1. Sipas përkufizimit të progresionit aritmetik, kemi: yn = yn–1 + d yn + 1 = yn + dDuke zbritur anë për anë nga barazimi i parë të dytin, marrim:yn – yn + 1 = yn – 1 – yn. Prej këtej nxjerrim: 2yn = yn – 1 + yn + 1, d.m.th. yn = yn − 1 + yn + 12 . Çfarë deshëm të vërtetonim!6 Vërtetoni që për çdo vlerë të a, b∈R, vargu (a + b)2, a2 + b2, (a – b)2 është progresion aritmetik.7 Gjeni: a) shumën e të gjithë numrave natyrorë me dy shifra;b) shumën e të gjithë numrave tek më të vegjël se 50.8 Gjeni shumën e të gjitha kufizave pozitive të progresionit aritmetik 45, 40, …9 Gjeni shumën e 10 kufizave të para të progresionit gjeometrik:a) 3 3, 3, ...; b) 1, sin30o , …10 Të gjenden të gjithë trekëndëshat kënddrejtë, brinjët e të cilëve formojnë progresion aritmetik.Zgjidhjea) Le të kemi një trekëndësh kënddrejtë, brinjët e të cilit formojnë progresion aritmetik. Shënojmë me xbrinjën më të vogël të tij (x > 0) dhe me d diferencën e progresionit (d > 0). Brinjët e tjera janë x + d, x + 2d.Për trekëndëshin kënddrejtë me brinjë x, x + d, x + 2d zbatojmë teoremën e Pitagorës dhe kemi:(x + 2d)2 = x2 + (x + d)2x2 + 4xd + 4d2 = x2 + x2 + 2xd + d2x2 – 2xd – 3d2 = 0Duke zgjidhur këtë ekuacion të fuqisë së dytë me ndryshore x, gjejmë x1 = 3d, x2 = –d. (Rrënja x2 nuk pranohet për problemën).Pra brinjët e trekëndëshit janë 3d, 4d, 5d, ku d është numër real pozitiv çfarëdo.b) Anasjellas, nëse d∈R*+, atëherë numrat 3d, 4d, 5d (që formojnë një progresion aritmetik me diferencë d) shërbejnë si brinjë të një trekëndëshi kënddrejtë (në bazë të teoremës së anasjellë të Pitagorës) meqenëse (5d)2 = (4d)2 + (3d)2.11 Të vërtetohet me metodën e induksionit matematik se kufiza e n-të e progresionit aritmetik me kufizë të parë y1 dhe diferencë d është (1) yn = y1 + (n – 1) · d, n∈N.VërtetimI. Për n = 1, ana e majtë e barazimit (1) është y1, kurse ana e djathtë është y1 + (1 – 1) · d = y1. Pra, për n = 1 barazimi (1) është i vërtetë. II. Me supozimin që barazimi (1) është i vërtetë për n = k. [d.m.th. me supozimin që yk = y1 + (k – 1) · d], le të tregojmë që ky barazim është i vërtetë edhe për n = k + 1.[d.m.th. të tregojmë që yk + 1 = y1 + (k + 1 – 1) · d]. Sipas përkufizimit të progresionit aritmetik, kemi: yk + 1 = yk + d.Meqenëse yk = y1 + (k – 1) . d (nga supozimi i bërë), rrjedh: yk + 1 = [y1 + (k – 1) . d] + d d.m.th. yk + 1 = y1 + k d. Çfarë deshëm të vërtetonim!