Page 61 - Demo

3. LIMITET E FUNKSIONEVE KUR x → ∞. LIMITET E VARGJEVE593.1 Funksione që kanë limit +∞ kur x → +∞A Kërkoni dhe zbuloni (Punë në grupe)1. A kanë të njëjtin kuptim shprehjet: a) “Ndryshorja x merr vlera shumë të mëdha”. b) “Ndryshorja x merr vlera sa të duam të mëdha”.2. Shqyrtoni funksionin f: y = x2, x∈[0, +∞[, grafiku i të cilit është paraqitur në figurën 3.1. a) A ka vlera të x nga [0, +∞[ për të cilat f(x) > 100? f(x) > 106?b) Le të jetë M një numër i dhënë pozitiv. Për ç’vlera të x kemi f(x) > M?B Vrojtoni dhe mësoni1. Nëse shënojmë me x numrin e banorëve sot në një shtet të Tokës, është e qartë që x mund të marrë vlera shumë të mëdha (p.sh. për Kinën kemi x = 1,5·109). Por x nuk mund të marrë vlera sa të duam të mëdha, p.sh. x nuk mund të jetë më i madh se 1010. 2. Nëse shënojmë me x abshisën e pikës P në boshtin numerik Ox, është e qartë që x mund të marrë vlera sa të duam të mëdha, në kuptimin që sidoqoftë i dhënë një numër pozitiv M, gjenden vlera të x të tilla që x > M. Në këtë rast, themi që vlerat e x mund të rriten pambarimisht dhe shënojmë x → +∞ (lexohet: x shkon në plus infinit). 3. Shohim që, për funksionin f: y = x2, x∈[0, +∞[, vlerat e tij bëhen sa të duam ne të mëdha(d.m.th. bëhen më të mëdha se çdo numër pozitiv i dhënë), me kusht që të shqyrtohen vlera të x mjaft të mëdha. Themi që ky funksion ka limit +∞ kur x → +∞.Përkufizim Le të jetë dhënë funksioni f i përcaktuar në [a, +∞[. Themi që funksioni f ka limit +∞, kur x → +∞, nëse vlerat e f bëhen sa të duam më të mëdha, me kusht që të shqyrtohen vlera të x mjaft të mëdha. Më saktë, themi që funksioni f ka limit +∞, kur x → +∞, nëse për çdo numër M > 0 të dhënë, ekziston një x0∈[a, +∞[, e tillë që për x > x0, kemi f(x) > M.Në këtë rast, shënojmë limx → +∞ f(x) = +∞.Nga shqyrtimi i funksionit y = x2, mund të shkruajmë limx → +∞x2 = +∞. Shembulli 1 Të vërtetohet që limx → +∞x3 = +∞.Zgjidhje Le të jetë M një numër pozitiv çfarëdo i dhënë. Të gjejmë x0, që për x > x0 të kemi x3 > M (1). Meqenëse të dyja anët e këtij mosbarazimi (për x > 0) janë pozitive, ai është i njëvlershëm me x3 3 > M3, d.m.th. x > M3 (2). Marrim x0 = M3. Atëherë për x > 0 dhe të tilla që x > x0, do të kemi x > M3, që nga rrjedh mosbarazimi i njëvlershëm x3 > M, d.m.th. f(x) > M, çfarë deshëm të vërtetonim. 0yy1 Mx1 xFig. 3.1