Page 62 - Demo

60MATEMATIKA 12Njëlloj vërtetohet se kanë limite +∞, kur x → +∞, të gjithë funksionet e mëposhtme. y = x, y = x2, y = x3,·,y = xn (n∈N) y = x, y = x3,·, y = x3. (n∈N).Interpretimi grafik Ne pamë që lim x → +∞x2 = +∞. Duke parë grafikun e funksionit y = x2, vëmë re se për pikën M(x1, y1) të lëvizshme në grafik, kemi që: kur abshisa e saj rritet pambarimisht, edhe ordinata e saj rritet pambarimisht (kur zhvendosemi djathtas pambarimisht sipas grafikut, njëherësh ngrihemi lart pambarimisht). Ky përfundim është i vlefshëm për grafikun e çdo funksioni f, për të cilin kemi limx → +∞ f(x) = +∞.Shembulli 2 Të vërtetojmë që limx → +∞ 2x = +∞.ZgjidhjeLe të jetë M një numër pozitiv i dhënë çfarëdo. Të gjejmë një numër x0 që nga x > x0 të rrjedhë 2x > M. Mosbarazimi 2x > M është i njëvlershëm me log2(2x) > log2M, d.m.th. x · log22 > log2M, pra x > log2M. Shënojmë x0 = log2M. Atëherë nga x > x0 (d.m.th. x > log2M) rrjedh mosbarazimi i njëvlershëm 2x > M, çfarë deshëm të vërtetonim. Njëlloj vërtetohet që për çdo a > 1 kemi limx → +∞ax = +∞.Kjo gjë duket qartë edhe nga trajta që ka grafiku i funksionit eksponencial y = ax, kur a > 1 (fig 3.2). Njëlloj vërtetohet që, për çdo a > 1, kemi lim x → +∞ logax = +∞.Kjo gjë duket qartë edhe nga trajta që ka grafiku i funksionit logaritmik y = logax, kur a > 1 (fig. 3.3) 0y y = logax1 xFig. 3.2 Fig. 3.30y y = ax1xC Ushtrohuni duke zbatuar1. Cilat nga funksionet, grafikët e të cilave janë paraqitur në figurën 3.4, kanë limit +∞, kur x → +∞.a) b) c) d) e)0yx 0yx 0yx 0yx 0yxFig.3.4 2. Vërtetoni që funksioni y = 5x ka limit +∞, kur x → +∞.