Page 64 - Demo

62MATEMATIKA 123.2 Disa teorema A Kërkoni dhe zbuloniGjeni: a) lim x → +∞ (x2 + x); b) lim x → +∞ ( x + x3). B Vrojtoni dhe mësoniPër të përcaktuar nëse një funksion ka limit +∞ kur x → +∞, na shërbejnë këto teorema: Teorema 1Nëse për x∈[a, +∞[ kemi g (x) ≥ f(x), dhe lim x → +∞ f(x) = +∞, atëherë edhe lim x → +∞ g(x) = +∞. VërtetimLe të jetë M një numër pozitiv i dhënë.Meqenëse kemi lim x → +∞ f(x)= +∞, ekziston një x0 nga [a, +∞[, i tillë që për x > x0 kemi f(x) > M (1). Por përçdo x∈[a, +∞[ (pra edhe për x > x0), ne kemi g(x) ≥ f(x) (2) Duke krahasuar mosbarazimet (1) dhe (2), del që për x > x0 kemi g(x) > M. Pra, sipas numrit të dhënë M > 0, ne gjetëm një x0 nga [a, +∞[, të tillë që për x > x0 të kemi g(x) > M. Kjo do të thotë, sipas përkufizimit, që lim x → +∞ g (x) = +∞. Shembulli 1 Për x > 0 kemi x2 + 1x > x2. Por lim x → +∞x2 = +∞, prandaj (sipas teoremës) edhe lim x → +∞ x2 + 1x = +∞. Teorema 2Nëse lim x → +∞ f(x) = +∞ dhe lim x → +∞ g(x) = +∞, atëherë edhe lim x → +∞ [f(x) + g(x)] = +∞. Shembulli 2 Kemi parë që lim x → +∞x2 = +∞ dhe lim x → +∞x3 = +∞. Nga teorema 2 rrjedh që lim x → +∞ (x2 + x3) = +∞. Teorema 3Nëse lim x → +∞ f(x) = +∞ dhe lim x → +∞ g(x) = +∞, atëherë lim x → +∞ [f(x) · g(x)] = +∞. Shembulli 3 Meqenëse lim x → +∞x2 = +∞ dhe lim x → +∞x3 = +∞, rrjedh (sipas teoremës) që lim x → +∞x2 · x3 = +∞.