Page 65 - Demo

3. LIMITET E FUNKSIONEVE KUR x → ∞. LIMITET E VARGJEVE63Teorema 4Nëse lim x → +∞ f(x) = +∞ dhe k > 0, atëherë lim x → +∞ [k · f(x)] = +∞. Teoremat 2, 3 dhe 4 nuk do t’i vërtetojmë. Funksione që kanë limit – kur x → + Shembulli 4 Shqyrtojmë funksionin y = –x2, x∈[0, +∞[. Ne pamë që vlerat e x2 bëhen sa të duam më të mëdha, me kusht që të shqyrtohen vlera të x mjaft të mëdha. Pra, vlerat e funksionit y = –x2, që janë negative, mund të bëhen sa të duam më të vogla, me kusht që të shqyrtohen vlera të x mjaft të mëdha. (Sido që të jetë dhënë numri pozitiv M, ekziston një x0 i tillë që për x > x0 të kemi x2 > M. Atëherë për x > x0 kemi –x2 < –M). Në këtë rast, themi që lim x → +∞ (–x2) = −∞. Përkufizim Themi që funksioni y = f(x) ka limit −∞ kur x → +∞, nëse funksioni y = –f(x) ka limit +∞ kur x → +∞. Shënojmë lim x → +∞ f(x) = −∞, duke nënkuptuar me këtë shënim (sipas përkufizimit) që lim x → +∞ [–f(x)] = +∞. Shembulli 5 Meqenëse lim x → +∞xn = +∞ dhe lim x → +∞xn= +∞ (n∈N), kemi lim x → +∞ (–xn) = −∞ dhe lim x → +∞ (− xn) = −∞. Shembulli 6 Kur a > 1, kemi lim x → +∞ logax = +∞. Shqyrtojmë funksionin y = loga1x . Për x > 0, kemi loga1x = loga1–logax, d.m.th. loga1x = –logax. Prandaj lim x → +∞ loga1x = −∞. C Ushtrohuni duke zbatuar 1. Gjeni: a) lim x → +∞ 0,5x2; b) lim x → +∞13 x.2. Gjeni: a) lim x → +∞ log 1x − x ; b) lim x → +∞ (−x2 − x).