Page 67 - Demo

3. LIMITET E FUNKSIONEVE KUR x → ∞. LIMITET E VARGJEVE653.3 Funksione që kanë limit 0, kur x → +∞A Kërkoni dhe zbuloni (Punë në grupe)Është dhënë funksioni f: y = 1x2 , x∈R.a) Plotësoni tabelën x 1 10 102 103 106 1091x2Ç’vini re?b) Për ç’vlera të x kemi |f(x) – 0| < 0,01? |f(x) – 0| < 11010?c) Për ç’vlera të x kemi |f(x)–0| < ε, ku ε është një numër pozitiv i dhënë? B Vrojtoni dhe mësoniShembulli 1 Shqyrtojmë funksionin g: y = – 1x2 , x∈R*. Nga tabela x 1 10 100 1000 ···g(x) –1 –0,01 –0,0001 –106 ···duket qartë që, me rritjen e vlerave të x, vlerat përgjegjëse të funksionit i afrohen numrit 0, në kuptimin që vlera absolute e ndryshesës së tyre prej 0, |g (x)–0|, zvogëlohet. Kur x rritet pambarimisht, vlerat e g(x) i afrohen pambarimisht zeros, në kuptimin që |g (x) – 0| bëhet sa të duam më e vogël, me kusht që të shqyrtohen vlera të x mjaft të mëdha. Nëse ε është një numër pozitiv i dhënë (ndoshta shumë i vogël), ne mund të gjejmë një numër pozitiv M, të tillë që për x > M të kemi |g (x) – 0| < ε. Me të vërtetë, mosbarazimi |g(x) – 0| < ε ka pamjen: d.m.th. 1x2 < ε, i njëvlershëm me x2 > 1ε , që nga (x > 1ε ose x < − 1ε ). Marrim M = 1ε . Atëherë, nga x > M (d.m.th. nga x > 1ε ) rrjedh 1x2 < ε, d.m.th. |g(x) – 0| < ε. Themi që funksioni g: y = − 1x2 ka limit zeron kur x → +∞, dhe shënojmë lim x → +∞ − 1x2 = 0. Përkufizim Le të na jetë dhënë funksioni f i përcaktuar në [a, +∞[. Themi që ky funksion ka limit zeron kur x → +∞, nëse |f(x) – 0| bëhet sa të duam më e vogël, me kusht që të shqyrtohen vlera të x mjaft të mëdha. Më saktë, themi që funksioni f ka limit zeron kur x → +∞, nëse, sidoqoftë dhënë numri pozitiv ε, ekziston një numër pozitiv M, i tillë që për x > M të kemi |f(x) – 0| < ε. Në këtë rast, shënojmë lim x → +∞ f(x) = 0.