Page 68 - Demo

66MATEMATIKA 12Shembulli 2Të vërtetohet që lim x → +∞12x3 = 0. Zgjidhje Le të jetë ε një numër pozitiv i dhënë. Të gjejmë numrin pozitiv M që nga x > M të rrjedhë | 1|x| 3 | − 0 < ε.Mosbarazimi i fundit shkruhet |1|| x3 | < ε, d.m.th. 1|x| 3 < ε, i njëvlershëm me |x| 3 > 1ε d.m.th. |x| > 1ε3. Marrim M = 1ε3. Atëherë për x > M, kemi |x| > M, d.m.th. |x| > 1ε3, prej nga rrjedh mosbarazimi i njëvlershëm | 1|x| 3 −0| < ε, çfarë deshëm të vërtetonim. Përgjithësim Njëlloj vërtetohet se të gjitha funksionet e trajtave y = 1xn ; y = − 1xn ; y = 1xn ; y = − 1xn ( x∈R) kanë limit 0, kur → +∞. Interpretimi grafik Në figurën 3.7 është paraqitur grafiku i funksionit y = f(x), i përcaktuar në [a, +∞[, për të cilin dihet që lim x → +∞ f(x) = 0. Le të jetë M një pikë e grafikut me abshisë x dhe P projeksioni i saj mbi Ox. Ordinata e M është yM = f(x). Kemi |f(x) – 0| = |yM – yP| = yM, d.m.th. |f(x) – 0| paraqet largesën e pikës M nga boshti Ox. Meqenëse lim x → +∞ f(x) = 0, del që kjo largesë bëhet sa të duam e vogël, nëse shqyrtohen vlera mjaft të mëdha të x. Pra, largesa e pikës M nga boshti Ox zvogëlohet pambarimisht kur x → +∞. C Ushtrohuni duke zbatuar1. Vërtetoni që lim x → +∞1x3 = 0. 2. Cilat nga funksionet e paraqitura grafikisht në figurën 3.8 kanë limit 0, kur x → +∞. a) b) c)0y0 xy0 xyxFig. 3.8 0ya xMPFig. 3.7