Page 70 - Demo

68MATEMATIKA 123.4 Limiti i polinomit kur x → +∞A Kërkoni dhe zbuloniDimë që lim x → +∞ (2x3) = +∞. Tregoni që edhe lim x → +∞ (2x3 + x2 + x + 1) = +∞. B Vrojtoni dhe mësoniShembulli 1 Jepet polinomi P(x) = x3 – x2 – x + 1. Të tregojmë që lim x → +∞ P(x) = lim x → +∞x3, d.m.th. lim x → +∞ P(x) = +∞. Ne mund të arsyetojmë kështu: Shkruajmë (për x > 0) P(x) = x3 1− 1x − 1x2 + 1x3 (kemi faktorizuar x3). Për x mjaft të mëdha, vlerat e 1x , 1x2, 1x3 janë shumë afër zeros (pse?), d.m.th. vlerat e shprehjes 1− 1x − 1x2 + 1x3 janë shumë afër numrit 1. Prandaj, vlerat e P(x) që është x3 1− 1x − 1x2 + 1x3 janë shumë afër vlerave të monomit x3 · 1 = x3.Prandaj, për x mjaft të mëdha, vlerat e P(x) bëhen më të mëdha se çdo numër pozitiv i dhënë që më parë, pra lim x → +∞ P(x) = +∞. Ndryshe, më saktë mund të veprojmë kështu: Për x > 10 kemi 1x < 110; 1x2 < 1100; 1x3 < 11000. Prandaj 1x + 1x2 – 1x3 < 1x + 1x2 + 1x3 < 110 + 1100 + 11000 < 12 . Del − 1x + 1x2 – 1x3 > – 12 , d.m.th. 1 – 1x + 1x2 – 1x3 > 1 – 12 . Prandaj x3 [1 − 1x + 1x2 – 1x3 ] > 12 x3. Kështu, për x > 10 kemi P(x) > 12 x3. Por lim x → +∞12 x3 = +∞, prandaj nga teorema 1, mësimi 2, kemi lim x → +∞ P(x) = +∞. Shembulli 2 Shqyrtojmë polinomin Q(x) = –2x4 + x3 + x2 + x + 2. Të tregojmë që lim x → +∞ Q(x) = −∞, sikurse lim x → +∞ (–2x4). Për x > 0, duke faktorizuar x4, marrim Q(x) = x4 −2 + 1x + 1x2 + 1x3 + 1x4 . Për x > 10, njëlloj si te shembulli i mëparshëm, kemi 0 < 1x + 1x2 + 1x3 + 1x4 < 12 . Prandaj –2 + 1x + 1x2 + 1x3 + 2x4 < –2 + 12 (= − 32 ). Kemi atëherë Q(x) = x4 [–2 + 1x + 1x2 + 1x3 + 2x4 ] <− 32 x4. Marrim –Q(x) > 32 x4 (për x > 10). Por limx → +∞32 x4 = +∞, prandaj nga teorema 1, mësimi 2, rrjedh që edhe lim x → +∞ [–Q(x)] = +∞. Si pasojë, lim x → +∞ Q(x) = −∞, çfarë deshëm të vërtetonim.