Page 72 - Demo

70MATEMATIKA 123.5 Funksione që kanë limit l, kur x → +∞A Kërkoni dhe zbuloniShqyrtoni tabelën. x 2 4 11 101 1001 10001 ···2x + 1x − 1 5 3 2,3 2,03 2,003 2,0003 ···2x + 1x − 1 − 2 3 1 0,3 0,03 0,003 0,0003 ···Në rreshtin e dytë janë vlerat e funksionit y = 2x + 1x − 1 , x ≠ 1, kurse në rreshtin e tretë janë vlerat e funksionit y = 2x + 1x − 1 − 2, x ≠ 1. 1. Me rritjen e vlerave të x, cilit numër i afrohen vlerat e funksionit y = 2x + 1x − 1 ? Po vlerat e funksionit 2x + 1x − 1 − 2?. 2. Tregoni që kur vlerat e x rriten pambarimisht, vlerat e funksionit 2x + 1x − 1 − 2i afrohen pambarimisht numrit zero, d.m.th. që limx → +∞2x + 1x − 1 − 2 = 0. Përkufizim Themi që funksioni y = f(x) ka limit numrin l, kur x → +∞, nëse funksioni y = f(x) – l ka limit numrin 0 kur x → +∞. Në këtë rast shënojmë lim x → +∞ f(x) = l. Sipas këtij përkufizimi, kemi [ limx → +∞f(x) = l] ⇔ [ lim x → +∞ (f(x) – l) = 0]. Shembulli 1 Të vërtetohet që lim x → +∞3x − 51 − 2x= − 32 .Zgjidhje Mjafton të vërtetojmë që funksioni y = 3x − 51 − 2x – − 32 ka limit numrin 0 kur x → +∞. Ky funksion është y = −72 − 4x . Le të jetë ε një numër pozitiv i dhënë. Të gjejmë x0 të tillë që nga x > x0 të rrjedhë | −72 − 4x − 0| < ε. Ky mosbarazim është i njëvlershëm me|−7||2 − 4x|< ε ⇔ 7|2 − 4x| < ε ⇔ |2 − 4x|7 > 1ε⇔ |4x – 2| > 7ε. Meqenëse x → +∞ shqyrtojmë x > 1; për këto vlera të x kemi 4x – 2 > 0, prandaj |4x – 2| = 4x – 2. Mosbarazimi i fundit shkruhet: 4x – 2 > 7ε⇔ 4x > 2 + 7ε⇔ x > 12 + 74ε. Marrim x0 = 12 + 74ε. Atëherë për x > x0 (dhe x > 1) kemi |4x – 2| > 7ε, prej nga rrjedh mosbarazimi i njëvlershëm | −72 − 4x | < ε, çfarë deshëm të vërtetonim.