Page 76 - Demo

74MATEMATIKA 123.7 Asimptota horizontale. Disa teorema mbi limitet, kur x → +∞ (x → -∞)A Kërkoni dhe zbuloni (Punë në grupe)a) Ndërtoni grafikun e funksionit y = 1 + 1x .b) Gjeni lim x → +∞1 + 1x . c) Cilës drejtëz i afrohen pambarimisht pikat e grafikut, kur x → +∞? d) Trajtoni kërkesat e parashtruara në pikat a, b, c, në rastin kur x → −∞.B Vrojtoni dhe mësoniKuptimi i asimptotësShqyrtojmë figurën 3.12a. Ta zëmë se largësia e pikës M të vijës l nga origjina (OM) shkon në +∞; themi që pika M largohet pambarimisht nga origjina. Mund të ndodhë që ndërkaq, largesa MK e pikës M nga ndonjë drejtëz e planit të zvogëlohet pambarimisht (t’i afrohet pambarimisht numrit zero). P.sh. në figurën 3.12a kjo ndodh për drejtëzën d2, kur pika M e vijës l largohet pambarimisht majtas; kjo ndodh për drejtëzën d1, kur pika M largohet pambarimisht djathtas.PërkufizimNëse largesa e pikës M të vijës l nga drejtëza d, i afrohet pambarimisht zeros kur pika M largohet pambarimisht, në një drejtim të caktuar, mbi vijën l, atëherë themi që drejtëza d është asimptotë e vijës lnë këtë drejtim.Shembulli 1 Shqyrtojmë funksionin e njohur y = 1x , grafiku i të cilit është paraqitur në figurën 3.12b. Ne dimë që lim x → +∞1x = 0. Vëmë re që kur x → +∞, pika M(x, y) e grafikut i afrohet pambarimisht boshtit Ox, i cili ka si ekuacion y = 0. Kemi gjithashtu që lim x → –∞1x = limt → +∞ − 1t = 0 dhe vëmë re që, kur x → −∞, pika M(x, y) e grafikut i afrohet pambarimisht boshtit Ox(drejtëzës y = 0). Themi që drejtëza y = 0 është asimptotë horizontale e grafikut, si për rastin kur x → +∞, ashtu edhe për rastin kur x → −∞. Rasti i përgjithshëm Le të kemi funksionin f: y = f(x), për të cilin dihet që lim x → +∞ f(x) = l. Atëherë y = f(x) – l ka limit 0 kur x → +∞, d.m.th. |f(x) – l| i afrohet pambarimisht zeros, kur x → +∞. Por |f(x) – l| = |yM – yP| = PM dhe paraqet largesën e pikës M (me abshisë x) të grafikut nga drejtëza me ekuacion y = l (fig. 3.13). 0M ly d1Kd2xFig. 3.12aFig. 3.12byxMOylPxMOFig. 3.13