Page 79 - Demo

3. LIMITET E FUNKSIONEVE KUR x → ∞. LIMITET E VARGJEVE773.8 Limiti i funksionit racional thyesor, kur x → +∞ (x → -∞)A Kërkoni dhe zbuloni Gjeni: a) limx → +∞x + 3x ; b) limx → +∞x2 − 1x2 ; c) limx → +∞x2 + 1x ; d) limx → +∞x + 1x2 . B Vrojtoni dhe mësoniShembulli 1Të gjendet limx → +∞2x2 + 5x − 42x2 − x + 6 . Zgjidhje Nxjerrim në dukje në numëruesin dhe në emëruesin e thyesës fuqinë më të lartë të x (d.m.th. x2). Kemi 2x2 + 5x − 42x2 − x + 6 = x2 (2 + 5 − 4 ) x x2x2 (3 − 1 + 6 ) x x2. Por limx → +∞2 + 5x − 4x2 = 2 dhe limx → +∞3 − 1x + 6x2 = 3(sepse limx → +∞5x = limx → +∞ − 4x2 = limx → +∞ − 1x = limx → +∞6x2 = 0).Atëherë nga teorema 1/c del që limx → +∞2x2 + 5x − 42x2 − x + 6 = 23. Vëmë re që edhe limiti i raportit të monomeve me fuqi më të larta, në numërues dhe në emërues, është po kaq: limx → +∞2x23x2 = 23. Shembull 2 Të gjendet limx → +∞x3 + 2x2 − x + 1x2 − 4x + 5 . Zgjidhje Duke nxjerrë në dukje, në numëruesin dhe në emëruesin e thyesës, fuqitë më të larta të x, marrim,x3 (1 + 2x − 1x2 + 1x3 )x2 (1 − 4x + 5x2 ) pra x3 + 2x2 − x + 1x2 − 4x + 5 = x ·1 + 2x − 1x2 + 1x31 − 4x + 5x2. Por, sipas teoremës 1/c, kemi limx → +∞1 + 2x − 1x2 + 1x31 − 4x + 5x2= 11 = 1, kurse limx → +∞x = +∞.Atëherë nga teorema 2 del limx → +∞x3 + 2x2 − x + 1x2 − 4x + 5 = +∞. Vëmë re që po kaq është edhe limiti i raportit tëmonomeve me fuqi më të lartë të x: limx → +∞x3x2 = limx → +∞x = +∞. Shembull 3 Të gjendet limx → +∞x2 + 2x − 1x3 + x + 5 .Zgjidhje Duke nxjerrë në dukje, në numëruesin dhe në emëruesin e thyesës, fuqitë më të larta të x, marrim x2 + 2x − 1x3 + x + 5 = x2 (1 + 2x − 1x2 )x3 (1 + 1x2 + 5x3 ) = 1x· 1 + 2x − 1x21 + 1x2 + 5x3. Kemi limx → +∞1x = 0 dhe limx → +∞1 + 2x − 1x21 + 1x2 + 5x3= 11 = 1.