Page 81 - Demo

3. LIMITET E FUNKSIONEVE KUR x → ∞. LIMITET E VARGJEVE793.9 Limiti i vargutA Kërkoni dhe zbuloni (Punë në grupe)1. Shqyrtoni funksionin y = x2, x∈[1, +∞[.a) Sa është limiti i tij, kur x → +∞? Shprehni këtë fakt me fjalë.b) Për ç’vlera të x∈[1, +∞[ kemi x2 > 102? x2 > 102k, k∈N? x2 > M, ku M > 0?2. Shqyrtoni vargun (vn) ku vn = n2, n∈Na) Ç’ndodh me kufizat e vargut kur treguesit e tyre rriten pambarimisht?b) Për ç’vlera të n kemi n2 > 102? n2 > 102k, k∈N? n2 > M, ku M > 0?B Vrojtoni dhe mësoniLe të kemi vargun numerik të pafundmë (yn). PërkufizimNëse kufizat e vargut bëhen sa të duam të mëdha, mjafton që të zgjidhen treguesit e tyre mjaft të mëdhenj, atëherë themi që vargu (yn) ka limit +∞ dhe shkruajmë: lim n → +∞ yn = +∞Ndryshe, themi që lim n → +∞ yn = +∞ në qoftë se, sado i madh të jetë dhënë numri M > 0, gjendet një numër p natyror, i tillë që të gjitha kufizat e vargut me tregues n ≥ p, të jenë më të mëdha se M (yn > M për n ≥ p).Meqenëse funksionet y = x, y = x2, y = x3, y = x kanë limit +∞, kur x → +∞, dimë që vlerat e tyre bëhen sa të duam të mëdha, mjafton të zgjidhen treguesit e tyre mjaft të mëdhenj. Kjo do të thotë që: lim n → +∞n = lim n → +∞n2 = lim n → +∞n3 = lim n → +∞ n = +∞.PërkufizimThemi që vargu (un) ka limit –∞ nëse dhe vetëm nëse vargu (vn), ku vn = –un, ka limit +∞.( lim n → +∞un = –∞) ⇔ [ lim n → +∞(–un) = +∞]Kështu, lim n → +∞(–n) = lim n → +∞(–n2) = lim n → +∞(–n3) = lim n → +∞ (– n) = –∞.Ushtrime1. Shqyrtoni funksionin f(x) = 2 + 1x , x∈[1, +∞[.a) Sa është limiti i f(x) kur x → +∞? Shprehni këtë fakt me fjalë. b) Për ç’vlera të x∈[1, +∞[ kemi: |f(x) – 2| < 110 ? |f(x) – 2| < 1103? |f(x) – 2| < ε ku ε > 0. 2. Shqyrtoni vargun (un), ku un = 2 + 1n , n∈N. a) Ç’ndodh me kufizat e vargut, kur treguesit e tyre rriten pambarimisht? Cilit numër i afrohen pambarimisht këto kufiza?b) Për ç’vlera të n kemi |un – 2| < 110? |un – 2| < 1103? |un – 2| < ε ku ε > 0?Përkufizim Nëse kufizat e vargut i afrohen sa të duam numrit L, mjafton të zgjidhen treguesit e tyre mjaft të mëdhenj, atëherë themi që vargu (yn) ka limit numrin L dhe shkruajmë: lim n → +∞ yn = L.Le të kemi vargun numerik të pafundmë (yn).