Page 82 - Demo

80MATEMATIKA 12USHTRIMENdryshe, themi që lim n → +∞ yn = L, në qoftë se, sado i vogël të jetë dhënë numri ε > 0, gjendet një numër natyror p, i tillë që të gjitha kufizat e vargut me tregues n ≥ p të ndryshojnë nga numri L me më pak se ε (|yn – L| < ε për n ≥ p).Nga sa pamë tek ushtrimi i mësipërm, lim n → +∞ (2 + 1n ) = 2. Kemi parë që funksionet y = 1x , y = 1x2 , y = 1x3 , y = 1x, kanë limit numrin 0, kur x → +∞. Kjo do të thotë që vlerat e tyre i afrohen sa të duam numrit 0, mjafton që vlerat e x të merren mjaft të mëdha. Prej këtu rrjedh që kufizat e secilit prej vargjeve të mëposhtme y = 1n , y = 1n2, y = 1n3, y = 1n i afrohen sa të duamnumrit zero, mjafton të merren treguesit e tyre mjaft të mëdhenj. Kjo do të thotë që: lim n → +∞1n = lim n → +∞1n2 = lim n → +∞1n3 = lim n → +∞1n = 0 Shembulli 11. Le të kemi vargun (un) të tillë që un = 3n − 5n + 1 . Shqyrtojmë funksionin përkatës f: y = 3x − 5x + 1 . Kemi un = f(n) dhe lim x → +∞ f(x) = 3. Në bazë të teoremës 1, themi lim n → +∞un = 3.2. Le të kemi vargun (vn) të tillë që vn = n2 + 1n . Shqyrtojmë funksionin përkatës f: y = x2 + 1x . Kemi vn = f(n) dhe lim x → +∞ (x2 + 1x ) = +∞. Në bazë të teoremës 1, themi që lim n → +∞ (n2 + 1n ) = +∞.C Ushtrohuni duke mësuar1. Me anë të teoremës 1, gjeni limitet e vargjeve: a) yn = 2n, b) yn = – 13 · n, c) yn = d · n (d > 0), d) yn = d · n (d < 0).2. Me anën e teoremës 1, gjeni limitet e vargjeve: a) yn = 2n; b) yn = ( 13 )n; c) yn = qn (0 < q < 1); b) yn = qn (q > 1).Teorema 1Le të jetë një funksion f i përcaktuar në [1, +∞[ dhe (yn) një varg i tillë që yn = f(n).a) Nëse funksioni f ka limit numrin L, kur x→ +∞, atëherë vargu (yn) ka limit L.b) Nëse funksioni f ka limit +∞, kur x→ +∞, atëherë vargu (yn) ka limit +∞ kur n → +∞. Teoremën do ta pranojmë pa vërtetim.1 a) Tregoni që vargu (yn), ku yn = sin(nπ), nuk ka limit.b) Gjeni një tjetër varg që nuk ka limit. 2 a) Gjeni periodën e funksionit y = cos(2πx) dhe ndërtoni grafikun e tij. b) Tregoni që ky funksion nuk ka limit, kur x → +∞. c) Tregoni që vargu (yn), ku yn = cos(2 π n), ka limit. 3 a) Formuloni fjalinë e anasjellë të teoremës 1. b) Tregoni që kjo nuk është teoremë, duke dhënë dy kundërshembuj.4 Dihet që lim n → +∞n = +∞ dhe lim n → +∞ ( 1n ) = 0.Me metodën e induksionit matematik, vërtetoni që për çdo k∈N:a) lim n → +∞ (nk) = +∞; b) lim n → +∞ ( 1nk ) = 0. 5 Me metodën e induksionit matematik, vërtetoni për çdo k∈N (k ≥ 2): a) teoremën mbi limitin e shumës së kfunksioneve që kanë limit;b) teoremën mbi limitin e prodhimit të kfunksioneve që kanë limit; c) teoremën mbi limitin e fuqisë së k-të të një funksioni që ka limit. 6 Vërtetoni që nuk ka limit: a) vargu me kufizë të përgjithshme yn = (–2)n; b) vargu me kufizë të përgjithshme yn = 1 + (–1)n. 7 Nëse dihet që vargu (un) ka limit L ≠ 0, kurse vargu (vn) nuk ka limit, ç’mund të thoni për vargun: a) (un + vn); b) (vnun) ?