Page 83 - Demo

3. LIMITET E FUNKSIONEVE KUR x → ∞. LIMITET E VARGJEVE813.10 Veprimet me limitet e vargjeve. Numri eA Kërkoni dhe zbulonia) Jepni dy vargje monotone rritëse.b) Jepni dy vargje monotone zbritëse.c) A kanë limit këto vargje? Pse?B Vrojtoni dhe mësoniTeorema 2 Nëse vargjet (un) dhe (vn) kanë limite përkatësisht: lim n → +∞un = L1 dhe lim n → +∞vn = L2, atëherë edhe vargjet me kufiza të përgjithshme c · un (c∈R), un + vn, un · vn kanë limite dhe:lim n → +∞ (c · un) = c · L1 = c · ( lim n → +∞un)lim n → +∞ (un + vn) = L1 + L2 = ( lim n → +∞un) + ( lim n → +∞vn)lim n → +∞ (un · vn) = L1 · L2 = ( lim n → +∞un) · ( lim n → +∞vn)Teorema 3Nëse vargjet (un) dhe (vn) kanë limite përkatësisht numrat L1, L2 dhe L2 ≠ 0, atëherë edhe vargu me kufizë të përgjithshme unvn ka limit lim n → +∞ ( unvn) = L1L2.Teorema 4 (Teorema e Vejershtrasit)a) Çdo varg monoton rritës, i kufizuar nga lart nga një numër M, ka limit dhe ky limit është ≤ M.b) Çdo varg monoton zbritës, i kufizuar nga poshtë nga një numër m, ka limit dhe ky limit është ≥ m.Teoremat 2, 3, 4 do t’i pranojmë pa vërtetim.Numri i NeperitShqyrtojmë vargun me kufizë të përgjithshme xn = (1 + 1n )n.Vërtetohet se ky varg është monoton rritës dhe i kufizuar nga lart prej numrit 3. Prandaj, në bazë të teoremës së Vejershtrasit, ai ka limit një numër ≤ 3.Limitin e këtij vargu e quajmë numër të Neperit dhe e shënojmë me e.Pra: e = lim n → +∞ (1 + 1n )n.Vërtetohet që e është numër irracional, afërsisht i barabartë me 2,718.Kujtojmë që logaritmi me bazë e i një numri a quhet logaritëm natyror i numrit a dhe shënohet lna.C Ushtrohuni duke zbatuarDuke përdorur teoremat 2, 3 gjeni limitet e vargjeve:a) lim n → +∞2 · 1n ; b) lim n → +∞(3 + 2n ); c) lim n → +∞3 + 2n3 − 2n; d) lim n → +∞3n + 23n − 2