Page 85 - Demo

3. LIMITET E FUNKSIONEVE KUR x → ∞. LIMITET E VARGJEVE833.11 Limiti i vargut (vazhdim)A Kërkoni dhe zbuloniGjeni limitet e vargjeve të mëposhtme, të dhëna me formulat: a) yn = (12)n; b) yn = −34n ; c) yn = 2 · 3n; d) yn = –(π3)n. B Vrojtoni dhe mësoniLimitet e vargjeve që janë progresione aritmetike apo gjeometrike• Kufiza e përgjithshme e progresionit aritmetik me diferencë d jepet nga formula yn = y1 + (n – 1)d, d.m.th. yn = d . n + (y1 – d). Funksioni përkatës y = d . x + (y1 – d) ka si limit: +∞, kur d > 0; –∞ kur d < 0. Prandaj lim n → +∞ yn = +∞ (kur d > 0) dhe lim n → +∞ yn = –∞ (kur d < 0). • Kufiza e përgjithshme e progresionit gjeometrik me herës q > 0 jepet nga formula yn = y1 · qn–1 d.m.th.yn = y1q · qn. Duke shqyrtuar funksionin përkatës y = ( y1q ) · qx në [1, +∞[, nxjerrim këto përfundime: Nëse 0 < q < 1, atëherë lim n → +∞ yn = 0. Nëse q = 1, atëherë lim n → +∞ yn = y1. Nëse q > 1 dhe y1 > 0, atëherë lim n → +∞ yn = +∞. Nëse q > 1 dhe y1 < 0, atëherë lim n → +∞ yn = –∞ Metoda për gjetjen e limitit të vargut (yn)1. Mund të përdoret teorema 1, duke gjetur një funksion f (me limit të njohur, kur x → +∞) të tillë që yn = f(n). 2. Mund të përdoren teoremat 2 dhe 3. 3. Në rast se teoremat 2 dhe 3 nuk mund të përdoren dot drejtpërsëdrejti, përpiqemi të shndërrojmë në mënyrë të përshtatshme shprehjen që jep yn në varësi të n. Shembulli 1Të gjendet limiti i vargut (yn) ku yn = 1 − 2n1 + 2n+1ZgjidhjeFaktorizojmë 2n në numëruesin dhe në emëruesin e thyesës që jep yn.Kemi yn = 2n 12n − 12n 12n + 2 d.m.th. yn = 12n− 112n+ 2Vargu (un) ku un = 12n është progresion gjeometrik me herës q = 12 . Meqenëse 0 < 12 < 1, atëherëlim n → +∞12n = 0. Nga teorema 2 rrjedh që lim n → +∞ [ 12n− 1] = 0 – 1 = –1 dhe lim n → +∞ [ 12n+ 1] = 0 + 2 = 2Nga teorema 3 rrjedh që lim n → +∞yn = – 12 .