Page 86 - Demo

84MATEMATIKA 12Metoda e krahasimitSipas kësaj metode, krahasohet vargu i dhënë me vargje, të cilave u njohim limitet dhe përdoret teorema e mëposhtme që do ta pranojmë pa vërtetim.Teorema 4 a) Nëse vn ≤ un dhe lim n → +∞vn = +∞, atëherë lim n → +∞un = +∞. b) Nëse vn ≤ un dhe lim n → +∞un = –∞, atëherë lim n → +∞vn = –∞.c) Nëse |vn – L| ≤ un dhe lim n → +∞un = 0, atëherë lim n → +∞vn = L. d) Nëse vn ≤ un ≤ zn dhe lim n → +∞vn = lim n → +∞zn = L, atëherë lim n → +∞un = L. Shembulli 2Të gjenden limitet e vargjeve me kufizë të përgjithshme: a) yn = n2 + n3; b) yn = –n2 + log0,5n; c) yn = 1 + (−1)nn2 ; d) yn = cos nnZgjidhjea) Kemi n2 + n3 ≥ n2. Meqenëse lim n → +∞n2 = +∞, atëherë lim n → +∞ (n2 + n3) = +∞. (Teorema 4a).b) Kemi –n2 + log0,5n ≤ –n2 (sepse log0,5n ≤ 0). Meqenëse lim n → +∞ ( –n2) = –∞(sepse lim n → +∞n2 = +∞), atëherë lim n → +∞ ( –n2 + log0,5n) = –∞ (Teorema 4/b).c) Kemi yn – 1 = (−1)nn2 nga del që |yn – 1| = |(−1)n|n2 d.m.th. |yn – 1| = 1n2Meqenëse lim n → +∞|yn – 1| = lim n → +∞1n2 = 0, atëherë lim n → +∞ yn = 1 (Teorema 4/c).d) Kemi –1 ≤ cosn ≤ 1, prandaj − 1n ≤ cosnn ≤ 1n . Meqenëse lim n → +∞1n = 0 dhe lim n → +∞ (− 1n ) = 0, atëherë lim n → +∞cos nn = 0 (Teorema 4/d).C Ushtrohuni duke zbatuar1. Gjeni, duke përdorur teoremën 1, limitin e vargut (yn) kur: a) yn = n2 + 1n; b) yn = n + 5n2. Gjeni, duke përdorur teoremat 2 dhe 3, limitin e vargut (yn) kur: a) yn = 5 1n; b) yn = ( 12 )n − 3n ; c) yn = 2 − 12n5 + 1n23. Gjeni lim n → +∞yn në rast se: a) yn = (−1)nn + 5; b) yn = sinn2n c) yn = n2(–3 + sin n); d) yn = 3n + (−1)nn + 1 .