Page 89 - Demo

873. LIMITET E FUNKSIONEVE KUR x → ∞. LIMITET E VARGJEVELeximGjatësia e rrethit. Metoda e Arkimedit për gjetjen e vlerave të përafërta të numrit π.Gjatësia e rrethitNë një rreth të dhënë me qendër O dhe rreze R (fig 3.15) brendashkruajmë një gjashtëkëndësh të rregullt dhe shënojmë me p1 perimetrin e tij (p1 = 6R).Dyfishojmë numrin e brinjëve të këtij gjashtëkëndëshi, d.m.th. ndërtojmë dymbëdhjetëkëndëshin e rregullt të brendashkruar, që ka për kulme kulmet e gjashtëkëndëshit të rregullt dhe pikat e meseve të harqeve që tendosin brinjët e tij. Shënojmë me p2 perimetrin e këtij dymbëdhjetëkëndëshi. Në gjeometri vërtetohet lema: “Perimetri i çdo shumëkëndëshi të mysët është më i vogël se perimetri i çdo shumëkëndëshi tjetër që e rrethon atë”.Në bazë të kësaj leme, p2 > p1. Dyfishojmë po kështu numrin e brinjëve të dymbëdhjetëkëndëshit të rregullt dhe shënojmë me p3 perimetrin e njëzetekatërkëndëshit të rregullt të brendashkruar. Përsëri, në bazë të lemës, kemi p3 > p2.Le të mendojmë se veprimin e dyfishimit të numrit të brinjëve e vazhdojmë pambarimisht. Do të formohet një varg numrash p1, p2, … pn, … (1), i cili është monoton rritës. Në rast se marrim në shqyrtim një shumëkëndësh çfarëdo të jashtëshkruar rrethit, është e qartë (në bazë të lemës) që perimetri i tij është më i madh se secili nga numrat p1, p2, …, pn…, prandaj vargu (1) është i kufizuar nga lart.Kështu, vargu numerik (1) është varg monoton rritës dhe i kufizuar nga lart. Si i tillë, ai ka limit (teorema e Vejershtrasit).Pikërisht limitin e vargut (1), kur n → +∞ e quajmë gjatësi të rrethit.Mund të vërtetohet se, duke shënuar me p1, p2, p3 etj. përkatësisht perimetrat e gjashtëkëndëshit, dymbëdhjetëkëndëshit, njëzetekatërkëndëshit etj. të rregullt të jashtëshkruar rrethit, formohet vargu numerik p1, p2, …, pn, … (2), i cili është varg monoton zbritës i kufizuar nga poshtë, pra ka limit.Mund të vërtetohet se limiti i vargut (2) është i barabartë me limitin e vargut (1).R R0Fig. 3.15Vërtetim:Krahas rrethit të shqyrtuar me rreze R (gjatësinë e të cilit e shënojmë me p), shqyrtojmë një rreth tjetër me rreze R’ (gjatësinë e të cilit e shënojmë me p’). Brendashkruajmë në rrethin e dytë gjashtëkëndëshin, dymbëdhjetëkëndëshin, njëzetekatërkëndëshin e rregullt etj., duke formuar vargun e perimetrave të tyre: p’1, p’2, …, p’n, … (1’),i cili ka si limit gjatësinë e rrethit të dytë P’. Kemi pra: lim n → +∞ pn = P; dhe lim n → +∞ p’n = P’.TeoremëRaporti i gjatësive të dy rrathëve është i barabartë me raportin e rrezeve të tyre.