Page 90 - Demo

88MATEMATIKA 12Në gjeometri vërtetohet që raporti i perimetrave të shumëkëndëshave të rregullt me të njëjtin numër brinjësh është i barabartë me raportin e rrezeve të rrathëve të jashtëshkruar:p'1p1 = R'R ; p'2p2 = R'R ; …; p'npn = R'R ; … .Nga barazimi p'npn = R'R (për çdo n∈N), rrjedh lim n → +∞p'npn = lim n → +∞R'R .Por lim n → +∞p'npn = P'P (nga teorema mbi limitin e raportit), kurse lim n → +∞R'R = R'R (limiti i konstantes është i barabartë me vetë konstanten).Marrim pra P'P = R'R , çfarë deshëm të vërtetonim.Si rrjedhim: Raporti i gjatësisë së rrethit me diametrin e tij është një numër konstant.Me të vërtetë, nga barazimi i mëparshëm P'P = R'R , rrjedh P'P = 2R' 2R, d.m.th. P2R = P'2R',(sidoqofshin rrathët me rreze R e R’). Pikërisht numrin që shpreh raportin e gjatësisë së rrethit me diametrin e tij e shënojmë me shkronjën greke π.P2R = π, d.m.th. P = 2πRPër të llogaritur me përafërsi gjatësinë P të rrethit me rreze R (d.m.th. për të gjetur vlera të përafërta për π) shfrytëzojmë faktin që P është limiti i vargut (1) kur n → +∞, d.m.th. që kufizat e këtij vargu na japin vlera të përafërta me P, me kusht që të merren vlerat e n mjaft të mëdha.Kufiza e parë e këtij vargu është p1 = 6R.Kufiza e dytë e këtij vargu p2 është perimetri i dymbëdhjetëkëndëshit të rregullt të brendashkruar në rreth.p2 = 12 · a12, ku a12 është brinja e dymbëdhjetëkëndëshit të rregullt të brendashkruar. Për të gjetur a12 përdorim formulën e njohur nga gjeometria:a22n = 2R2 R2 − a2n4 , (3)që jep brinjën e (2n)-këndëshit të rregullt të brendashkruar në rreth, kur njohim brinjën an, të n-këndëshit të rregullt të brendashkruar.Duke vendosur në formulën e mësipërme a6 = R, gjejmë:a212 = 2R2 −2R R2 − R24 = R2 (2 − 3),dhe p2 = 12 · a12 = 12R 2 − 3; p2≈ 2R · 3,1059.Duke përdorur formulën (3) gjejmë njërën pas tjetrës brinjët e njëzetekatërkëndëshit, dyzetetetëkëndëshit, nëntëdhjetegjashtëkëndëshit të rregullt të brendashkruar në rreth dhe perimetrat përkatës të këtyre shumëkëndëshave.p3 = 2R · 3,1326…p4 = 2R · 3,1393…p5 = 2R · 3,1410…Perimetri p5 i nëntëdhjetegjashtëkëndëshit të rregullt të brendashkruar në rreth jep një përafrim të mirë për gjatësinë e rrethit (dhe si rrjedhojë, numri 3,1410 jep një përafrim të mirë për numrin π). Pikërisht duke njehsuar perimetrin e nëntëdhjetegjashtëkëndëshit të rregullt të brendashkruar në rreth, Arkimedi (në vitin 212 para erës së re) gjeti një vlerë mjaft të përafërt për π. Ai nxori mosbarazimin:3 + 1071 < π < 3 + 1070.