Page 93 - Demo

4. PIKA DHE DREJTËZA NË PLANIN KOORDINATIV91Për të vënë në dukje që pika M (dhe rrezevektori OM) ka abshisë x dhe ordinatë y, përdoren shënimet: M(x; y); (OM = xy ). Nëse M(x; y) kemi OM = x � i + y · j (1). Shqyrtojmë në planin koordinativ vektorin M1 M2 për të cilin njihen koordinatat e skajeve M1(x1; y1) dhe M2(x2; y2) (fig. 4.3). Kemi M1M2 = OM2 − OM1 = (x2 − x1)i + (y2 − y1)j .Çdo koordinatë e një vektori është e barabartë me diferencën e koordinatave përkatëse të mbaresës dhe të fillesës së tij. Çdo koordinatë e shumës së dy vektorëve është sa shuma e koordinatave përkatëse të vektorëve që mblidhen. Kur shumëzohet vektori me një numër, me po atë numër shumëzohet secila nga koordinatat e tij. Le të jetë MO simetrikja e pikës M(x; y) kundrejt origjinës së koordinatave (fig. 4.4). Kjo do të thotë se OM0 = −OM = −(x · i + y · j ) = (−x)i + (−y)j . Kështu, koordinatat e rrezevektorit OM0, pra edhe koordinatat e pikës Mo, janë (–x; –y).Le të jetë Mx pika simetrike e pikës M(x; y) kundrejt boshtit Ox (figura 4.5. a). Segmenti MMx është pingul me boshtin Ox dhe pika e prerjes P është mesi i këtij segmenti. Prandaj, pika Mxe ka abshisën të barabartë me atë të pikës M (x = OPi).Nga barazimi PM = PMx rrjedh OQ = OQx prej ku OQx = −OQ . Kjo tregon se ordinata e pikës Mx është e kundërta e asaj të pikës M, pra kemi Mx(x; –y).Njëlloj mund të tregohet se koordinatat e pikës My, që është simetrikja e pikës M(x; y) kundrejt boshtit Oy(figura 4.5 b) janë ( –x; y).Prodhimi numerik i dy vektorëve Prodhim numerik i dy vektorëve a dhe b quhet numri i barabartë me prodhimin e gjatësive të vektorëve me kosinusin e këndit ndërmjet tyre. Shënohet a · b.Sipas përkufizimit, kemi: a ·b = |a| · |b| · cosα. Prodhimi numerik i vektorit a me vetveten quhet katror numerik i vektorit dhe shënohet a2. Kemi:a2 = a · a = |a||a| cos 00 = |a|2⇒ |a| = a2Në një sistem koordinativ, jepen vektorët a = x1y1 dhe b = x2y2. Atëherë a · b = x1x2 + y1y2.Në veçanti, nëse a = x1y1 kemi a2 = x · x + y · y = x2 + y2 ⇒ |a| = a2 = x2 + y2Prandaj |a| = a2= x2 + y2.Nëse kemi pikat M1 (x1; y1) dhe M2 (x2; y2), duke ditur që M1M2 = x2 − x1y2 − y1 nxjerrim që gjatësia e tij (d.m.th largesa midis pikave M1 dhe M2) është:M1M2 = (x2 − x1)2 + (y2 − y1)2ijxM2M1Oy’x’yFig. 4.3ijxM0MOyFig. 4.4Fig. 4.5xMyMxQxQ QP P yM MO Oa) b)Pxy y