Page 95 - Demo

4. PIKA DHE DREJTËZA NË PLANIN KOORDINATIV934.2 Syprina e trekëndëshit në planin koordinativ. Syprina e shumëkëndëshit të mysët.A Kërkoni dhe zbuloniËshtë dhënë trekëndëshi me kulme A(–5; 0), B(5; 0) dhe C(4; 3). Tregoni që ky trekëndësh është kënddrejtë dhe gjeni syprinën e tij.B Vrojtoni dhe mësoniNë planin koordinativ xOy, janë dhënë pikat A(x1; y1), B(x2; y2), C(x3; y3). Kërkohet të gjendet syprina e trekëndëshit ABC.Arsyetojmë kështu:Kulmet e trekëndëshit mund të shihen si pika të hapësirës me koordinata:A(x1; y1; 0); B(x2; y2; 0); C(x3; y3; 0). Marrim vektorët: AC = x3 − x1y3 − y10; AB = x2 − x1y2 − y10 . Prodhimi vektorial AB x AC jepet nga përcaktori ix2 − x1x3 − x1jy2 − y1y3 − y1 k00.Duke e zbërthyer këtë përcaktor sipas elementeve të shtyllës së tretë, marrim AB x AC = k · x2 − x1x3 − x1 y2 − y1y3 − y1(ky vektor është pingul me planin xOy, prandaj ka drejtimin e boshtit Oz.)Gjatësia e vektorit AB x AC është sa vlera absolute (moduli) e numrit që shumëzon vektorin k, d.m.th. savlera absolute e x2 − x1x3 − x1 y2 − y1y3 − y1.Por gjatësia e AB x AC na jep syprinën e paralelogramit, të ndërtuar mbi vektorët AB; AC. Syprina e trekëndëshit të ndërtuar mbi vektorët AB; AC është sa gjysma e syprinës së këtij paralelogrami, d.m.th. sa gjysma e vlerës absolute të përcaktorit x2 − x1x3 − x1 y2 − y1y3 − y1. Arrijmë në përfundimin që syprina e trekëndëshit ABC, me kulme në pikat A(x1; y1); B(x2; y2); C(x3; y3), jepet nga formula SABC = 12x2 − x1x3 − x1 y2 − y1y3 − y1. (1)Kjo formulë mund të shkruhet edhe ndryshe.Nëse në përcaktorin x1 y1 1x2 y2 1x3 y3 1 lëmë të pandryshuar rreshtin e parë, kurse nga elementet e rreshtit të dytë (të tretë) zbresim elementet përkatëse të rreshtit të parë, përcaktori nuk ndryshon (nga vetitë e përcaktorëve). Kemi pra: x1 y1 1x2 y2 1x3 y3 1= x1 y1 1x2 −x1 y2 − y1 0x3 −x1 y3 − y1 0.Nëse përcaktorin e anës së djathtë e zbërthejmë sipas elementeve të shtyllës së tretë, do të marrim x2 − x1 y2 − y1x3 − x1 y3 − y1.Prandaj x1 y1 1x2 y2 1x3 y3 1= x2 − x1 y2 − y1x3 − x1 y3 − y1.Si përfundim, formula (1) mund të shkruhet ndryshe kështu:SABC = 12x1 y1 1x2 y2 1x3 y3 1