Page 98 - Demo

96MATEMATIKA 124.3 Ndarja e vektorit në raportin e dhënë. Mesi i segmentitA Kërkoni dhe zbuloniJepen pikat A(2; 4) dhe B(5; –3). Gjeni pikën M(x; y) të tillë që AM = 2MB .B Vrojtoni dhe mësoniThemi se pika M(x; y) e ndan vektorin AB në raportin k (k – numër real i ndryshëm nga –1), në rast se ka vend barazimi AM = k · MB . Le të gjejmë koordinatat e pikës M, në rast se njihen koordinatat e pikave A(x1; y1) dhe B(x2; y2).Gjejmë koordinatat e vektorëve AM dhe k · MB . Kemi:AM = x − x1y − y1; MB = x2 − xy2 − y ; k · MB = kx2 − kxky2 − ky . Nga barazimi vektorial AM = k · MB rrjedhin barazimet algjebrike që lidhin koordinatat e vektorëve:{x − x1 = kx2 − kxy − y1 = ky2 − ky d.m.th. {x + kx = x1 + kx2y + ky = y1 + ky2. Prej këtu, meqenëse k ≠ –1, nxjerrim:(1) x = x1 + kx21 + ky = y1 + ky21 + k. Pra, koordinatat e pikës M që ndan vektorin AB në raportin k jepen nga formulat (1).Shembulli 1 Jepen pikat A(2; 0) dhe B(2; 5). Në segmentin AB, merren në mënyrë të njëpasnjëshme pikat C, D, E, F, që e ndajnë këtë segment në 5 pjesë të barabarta. Të gjenden koordinatat e pikës F.ZgjidhjeËshtë e qartë që ka vend barazimi AF = 4 · FB. Zbatojmë formulat (1) duke marrë k = 4. Marrim:x = 2 + 2 · 41 + 4y = 0 + 5 · 41 + 4, prej nga del x = 2 dhe y = 4. Pra, F(2; 4).Vetia e përgjysmores së këndit të brendshëm të trekëndëshitPërgjysmorja e këndit të brendshëm të trekëndëshit e ndan brinjën përballë në dy segmente të përpjesshme me brinjët afërndenjëse.Në figurën 4.7, AD është përgjysmorja e këndit të brendshëm A të trekëndëshit ABC. Vetia e formuluar më lart (që ne do ta pranojmë pa vërtetim) pohon që:BDDC = ABAC d.m.th. pika D e ndan vektorin BC në raportin k = ABAC .B D CAFig. 4.7