Page 205 - Demo

9. NGJASHMËRIA DHE HOMOTETIA2039.7 Teorema e TalesitA Kërkoni dhe zbuloniKonstruktoni një trekëndësh ABC. Ndani brinjën [AB] në 4 pjesë të barabarta dhe nga pikat e ndarjes hiqni drejtëza paralele me brinjën [BC]. Si janë pjesët në të cilat këto ndajnë brinjën [AC]?B Vrojtoni dhe mësoni Teorema e Talesit:Dy drejtëza që presin një bashkësi drejtëzash paralele, caktojnë në to segmente të përpjesshme.Vërtetim:Jepen drejtëzat prerëse (d) dhe (s), të cilat presin drejtëzat paralele (A1B1); (A2B2); (A3B3) etj. (fig. 9.25).Të vërtetojmë që A1A2B1B2 = A2A3B2B3 = A3A4B3B4 = ...Në pikat A2; A3; etj., konstruktojmë [A2C1]//(s); [A3C2]//(s) etj.∆A1A2C1 ∼ ∆A2A3C2, sepse ∠1 = ∠2 dhe ∠3 = ∠4 si kënde përgjegjës. Kemi:A1A2A2A4 = A2C1A3C2 (1). Katërkëndëshat A2C1B1B2 dhe A3C2B2B3 janë paralelograme (pse?), prandaj A2C1 = B2B1 dhe A3C2 = B3B2. Duke zëvendësuar në barazimin (1) kemi:A1A2A2A3 = B1B2B2B3 ose A1A2B1B2 = A2A3B2B3.Në mënyrë të ngjashme vërtetohet edhe barazimi i raporteve të tjera. Teorema u vërtetua.Shembulli 1 Krahët e këndit A ndërpriten nga drejtëzat paralele (BC) dhe (DE) (fig. 9.26).a) Gjeni AE në qoftë se AB = 8 cm; AD = 12 cm; AC = 10 cm.ZgjidhjeKemi BD = AD – AB = 12 – 8 = 4 cm. Nga teorema e Talesit kemi: ABAC = BDCE ⇒ 810 = 4CE ⇒ CE = 10 · 48 = 5 cm.b) Gjeni CE në qoftë se BDAB = 179 dhe CE – AC = 1,6 cm.Kemi ABAC = BDCE ⇒ BDAB = CEAC = 179 . Shënojmë AC = x ⇒ CE = 1,6 + x1,6 + xx = 179 ⇒ 14.9 + 9x = 17x ⇒ 8x = 14,4 ⇒ x = 1,8 nga ku AC = 1,8 dhe CE = 1,6 + 1,8 = 3,4 cm.Shembulli 2 Jepen segmentet a, b dhe c. Konstruktoni segmentin d të tillë që a : b = c : d (fig. 9.27).ZgjidhjeKonstruktojmë një kënd çfarëdo, ∠xOy. Në njërin nga krahët e tij marrim gjatësitë OA = a dhe OB = b. Në krahun tjetër, OA1 = c. Bashkojmë pikën A me pikën A1. Nga pika B konstruktojmë drejtëzën paralele me segmentin [AA1]. Shënojmë B1 pikën e prerjes së kësaj drejtëze me krahun tjetër të këndit. Segmenti [OB1] është segmenti i kërkuar d.A3A2A1 B1B2B3C1C21324(d) (s)Fig. 9.25Fig. 9.26Fig. 9.27AB CD EAA10 B B2 xy