Page 209 - Demo

9. NGJASHMËRIA DHE HOMOTETIA2079.9 Një veti karakteristike e homotetisëA Kërkoni dhe zbuloniJepet homotetia H (O, 3) dhe segmenti [AB]. Në cilën figurë kalon segmenti [AB] me anë të kësaj homotetie? Diskutoni.B Vrojtoni dhe mësoniNjë figurë F çfarëdo përbëhet nga një bashkësi pikash. Secila prej tyre, në homotetinë H (O, k) ka përfytyrën përkatëse. Bashkësia e këtyre përfytyrave përbën një figurë F1, e cila quhet figurë homotetike e figurës F në homotetinë e dhënë.Konsiderojmë një figurë F, e cila në homotetinë H (O, k) ka për përfytyrë figurën F1. Marrim dy pika të çfarëdoshme A dhe M në figurën F dhe shënojmë me A1 dhe M1 përfytyrat e tyre në figurën F1 (fig. 9.40).A →H(O,k) A1 dhe M →H(O,k) M1. Kemi: OA1 = k · OA dhe OM1 = k · OM nga ku AM1 = OM1 – OA1 = k · OM – k · OA = k · (OM – · OA) = k · AM . Pra, A1M1 = k · AM.Ky barazim shpreh faktin që, në qoftë se pikat A dhe A1 janë dy pika të çfarëdoshme të rrafshit, atëherë për çdo pikë M të tij ekziston pika M1 e tillë që A1M1 = k · AM . Kjo tregon që A1M1 // AM dhe ׀A1M1׀ = ׀k׀ · ׀AM ׀.Anasjellas, në qoftë se plotësohet kushti që A1M1 = k · AM kemi:Në këtë mënyrë kemi vërtetuar teoremën:Një transformim është homoteti atëherë dhe vetëm atëherë, kur ekziston numri k ≠ 1 që çdo dy pika A dhe M kanë përfytyrat A1 dhe M1 të tilla që A1M1 = k · AM.Homotetia e një segmentiNë figurën 9.41 jepet qendra e homotetisë O dhe segmenti AB. (Për konkretizim kemi marrë k = 2). Kemi: A →H(O,k) A1 dhe B →H(O,k) B1Sipas teoremës së mësipërme, gjithashtu për çdo pikë M të segmentit AB kemi A1M1 = k · AM . Ky barazim tregon se përfytyrat e të gjitha pikave të segmentit [AB], ndodhen në segmentin [A1B1]. Mbani mend:Çdo segment [AB], në homotetinë H (O, k) ka për përfytyrë segmentin [A1B1] ku A1 dhe B1janë përfytyrat e skajeve A dhe B të segmentit [AB]. Gjithashtu, A1B1 = ׀k׀ · AB.Fig. 9.40AMA1M1OABMA1B1M1OFig. 9.41