Page 48 - Demo

MATEMATIKA 9462.9 Ndryshimi i katrorëve. FaktorizimeA Kërkoni dhe zbuloniPunë në grupJepen shprehjet: (x – 1)(x + 1); (2a + 5)(2a – 5); (x – y)(x + y). Kryeni veprimet e shumëzimit. Çfarë vini re?Diskutoni.B Vrojtoni dhe mësoniLe të vërtetojmë identitetin (a + b)(a – b) = a2 – b2 (1) Kemi (a + b)(a – b) = a(a – b) + b(a – b) vetia e shpërndarjes;= (a · a – ab) + (ba – b · b) vetia e shpërndarjes;= (a2 – ab) + (ba – b2) kuptimi i fuqisë; = a2 – b2 – ab + ab vetia e ndërrimit dhe e shoqërimit. = a2 – b2Identiteti (1) na lejon të kryejmë shkurt shumëzimin e shumës së dy shprehjeve mendryshimin e tyre. Shembulli 1(3x – 4y)(3x + 4y) = (3x)2 – (4y)2 = 9x2 – 16y2. (x2 – 3)(x2 + 3) = (x2)2 – 32 = x4 – 9. Shembulli 2Të paraqitet shkurt si polinom shprehja (–2x – 3y)(2x – 3y). ZgjidhjeNë shprehjen –2x – 3y, nxjerrim në dukje (–1) dhe marrim: –2x – 3y = (–1)(2x + 3y). Atëherë: (–2x – 3y)(2x – 3y) = (–1)(2x + 3y)(2x – 3y) = (–1)[(2x)2 – (3y)2] = –(4x2 – 9y2) = 9y2 – 4x2. Identitetin (1) mund ta shkruajmë edhe në një trajtë tjetër: a2 – b2 = (a – b)(a + b). Mbani mend:Identitetin a2 – b2 = (a – b)(a + b) e quajmë formulë e ndryshimit të katrorëve. Ai përdoret për të zbërthyer në faktorë diferencën e katrorëve të dy shprehjeve.Le ta shikojmë nga ana gjeometrike identitetin a2 – b2 = (a – b)(a + b) (fig. 2.4). Katrori i madh (me brinjë a) përbëhet nga katrori i vogël (me brinjë b < a) dhe dy trapeza kënddrejtë që kanë baza a dhe b, kurse lartësi (a – b). Sipërfaqja e trapezit është (a + b)(a – b)2Syprina e dy trapezave është (a + b)(a – b)Syprina e katrorit të madh është a2. Syprina e katrorit të vogël është b2.Kemi pra: a2 = b2 + (a + b)(a – b), prej ku a2 – b2 = (a + b)(a – b).Fig 2.4bbaaa – ba – b