Page 101 - Demo
P. 101
95Shkathtësi dhe aftësi4.3 Shpejtësia e ndryshimitDerivati si shpejtësi e ndryshimit të funksionitShqyrtojmë funksionin f: y = x3 – 5x2 + 6x – 3. Ky funksion në çdo pikë x R ka derivat dhef’(x) = 3x2 – 10x + 6. Nga ana e vet funksioni f’: y = 3x2 – 10x + 6 ka në çdo pikë x R derivat dhe ky është 6x – 10. Pikërisht derivatin e funksionit f’ në pikën x (derivatin e derivatit) ne e quajmë derivat të dytë të funksionit f në pikën x dhe e shënojmë me f”(x). Në rastin tonë kemi: f”(x) = 6x – 10.Në përgjithësi, le të kemi një funksion f: y = f(x) të derivueshëm në një interval I. Në qoftë se ekziston derivati i funksionit f’ ku f’: y = f’(x) në pikën x I, ai quhet derivat i dytë (ose derivat i rendit II) i funksionit f në pikën x dhe shënohet f”(x).Derivati i dytë i funksionit y = f(x) në pikën x shënohet ndryshe 22d ydx .Le ta zëmë se një pikë materiale kryen lëvizje drejtvizore sipas boshtit Ox dhe zhvendosja e saj nga pika O në çastin t jepet nga formula x = t 2 +1 (figura e mëposhtme) (x matet në metra, t matet në sekonda).(2) (2 + h)0A BNë çastin t = 2, pika materiale ndodhet në A dhe zhvendosja e saj nga O është OA = x(2) = 22 + 1 = 5 metra. Në çastin t = 2 + h, pika materiale ndodhet në B dhe zhvendosja e saj nga O është OB = x(2 + h) = (2 + h)2 + 1 = 5 + 4h + h2 (metra). Gjatë kohës nga çasti 2 në çastin (2 + h) (pra gjatë h sekondave) pika materiale është zhvendosur me madhësinë AB = OB – OA = x(2 + h) – x(2) d.m.th. me AB = 4h + h2 (metra). Shpejtësia mesatare e lëvizjes, gjatë segmentit kohor [2,2 + h] është ABh = x(2 + h) – x(2)h d.m.th. është (4 + h) m/sek. Shembulli 1 Shembulli 2Derivati i rendit të dytë Shihet qartë që kjo shpejtësi mesatare varet nga h; ajo ndryshon me ndryshimin e h. Asnjëra nga këto shpejtësi mesatare (që merren për vlera të ndryshme të h) nuk na jep saktësisht shpejtësinë në çastin 2 (që duhet të jetë një numër real i vetëm që s’varet nga h). Por sa më afër zeros të jetë h, aq më mirë shpejtësia mesatare e lëvizjes nga çasti 2 në çastin 2 + h do të lejojë të gjykojmë për shpejtësinë e lëvizjes së pikës materiale në çastin t = 2. Prandaj është e natyrshme që, me përkufizim, shpejtësi të lëvizjes në çastin 2 të quajmë limitin e shpejtësisë mesatare gjatë segmentit kohor [2,2 + h], kur h i afrohet pambarimisht zeros. Këtë shpejtësi (të lëvizjes në çastin 2) e shënojmë v(2). Kemi:
